\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 9 y - 15 = 48 } \\ { - 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.
解 x、y
x=6
y=5
圖表
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3x+9y-15=48,-2x+3y=3
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x+9y-15=48
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x+9y=63
將 15 加到方程式的兩邊。
3x=-9y+63
從方程式兩邊減去 9y。
x=\frac{1}{3}\left(-9y+63\right)
將兩邊同時除以 3。
x=-3y+21
\frac{1}{3} 乘上 -9y+63。
-2\left(-3y+21\right)+3y=3
在另一個方程式 -2x+3y=3 中以 -3y+21 代入 x在方程式。
6y-42+3y=3
-2 乘上 -3y+21。
9y-42=3
將 6y 加到 3y。
9y=45
將 42 加到方程式的兩邊。
y=5
將兩邊同時除以 9。
x=-3\times 5+21
在 x=-3y+21 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-15+21
-3 乘上 5。
x=6
將 21 加到 -15。
x=6,y=5
現已成功解出系統。
3x+9y-15=48,-2x+3y=3
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\times 3-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\times 3-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 3-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{27}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}63\\3\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 63-\frac{1}{3}\times 3\\\frac{2}{27}\times 63+\frac{1}{9}\times 3\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\5\end{matrix}\right)
計算。
x=6,y=5
解出矩陣元素 x 和 y。
3x+9y-15=48,-2x+3y=3
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2\times 3x-2\times 9y-2\left(-15\right)=-2\times 48,3\left(-2\right)x+3\times 3y=3\times 3
讓 3x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
-6x-18y+30=-96,-6x+9y=9
化簡。
-6x+6x-18y-9y+30=-96-9
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -6x-18y+30=-96 減去 -6x+9y=9。
-18y-9y+30=-96-9
將 -6x 加到 6x。 -6x 和 6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-27y+30=-96-9
將 -18y 加到 -9y。
-27y+30=-105
將 -96 加到 -9。
-27y=-135
從方程式兩邊減去 30。
y=5
將兩邊同時除以 -27。
-2x+3\times 5=3
在 -2x+3y=3 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-2x+15=3
3 乘上 5。
-2x=-12
從方程式兩邊減去 15。
x=6
將兩邊同時除以 -2。
x=6,y=5
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}