解決{l}{3x+6y=24}{9x+5y=68} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 6 y = 24 } \\ { 9 x + 5 y = 68 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{96}{13} = 7\frac{5}{13} \approx 7.384615385$$

$$y=\frac{4}{13}\approx 0.307692308$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+6y=24$$

從方程式兩邊減去 6y。

$$3x=-6y+24$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-6y+24\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -6y+24。

$$x=-2y+8$$

在另一個方程式 9x+5y=68 中以 -2y+8 代入 x在方程式。

$$9\left(-2y+8\right)+5y=68$$

9 乘上 -2y+8。

$$-18y+72+5y=68$$

將 -18y 加到 5y。

$$-13y+72=68$$

從方程式兩邊減去 72。

$$-13y=-4$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=\frac{4}{13}$$

在 x=-2y+8 中以 \frac{4}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{4}{13}+8$$

-2 乘上 \frac{4}{13}。

$$x=-\frac{8}{13}+8$$

將 8 加到 -\frac{8}{13}。

$$x=\frac{96}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{3\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{3\times 5-6\times 9}&\frac{3}{3\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\68\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{39}\times 24+\frac{2}{13}\times 68\\\frac{3}{13}\times 24-\frac{1}{13}\times 68\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{96}{13}\\\frac{4}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+6y=24,9x+5y=68$$

讓 3x 和 9x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 9，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$9\times 3x+9\times 6y=9\times 24,3\times 9x+3\times 5y=3\times 68$$

化簡。

$$27x+54y=216,27x+15y=204$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 27x+54y=216 減去 27x+15y=204。

$$27x-27x+54y-15y=216-204$$

將 27x 加到 -27x。 27x 和 -27x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$54y-15y=216-204$$

將 54y 加到 -15y。

$$39y=216-204$$

將 216 加到 -204。

$$39y=12$$

將兩邊同時除以 39。

$$y=\frac{4}{13}$$

在 9x+5y=68 中以 \frac{4}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$9x+5\times \frac{4}{13}=68$$

5 乘上 \frac{4}{13}。

$$9x+\frac{20}{13}=68$$

從方程式兩邊減去 \frac{20}{13}。

$$9x=\frac{864}{13}$$

將兩邊同時除以 9。

$$x=\frac{96}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{96}{13},y=\frac{4}{13}$$