解決{l}{3x+5y=4}{-3x+4y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { - 3 x + 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{13}{9} = -1\frac{4}{9} \approx -1.444444444$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=4$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y+4。

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 -3x+4y=11 中以 \frac{-5y+4}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)+4y=11$$

-3 乘上 \frac{-5y+4}{3}。

$$5y-4+4y=11$$

將 5y 加到 4y。

$$9y-4=11$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$9y=15$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3} 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\times \frac{5}{3}+\frac{4}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 \frac{5}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{9}+\frac{4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 與 -\frac{25}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{13}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-5\left(-3\right)}&-\frac{5}{3\times 4-5\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-5\left(-3\right)}&\frac{3}{3\times 4-5\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\\\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{27}\times 4-\frac{5}{27}\times 11\\\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{9}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=4,-3x+4y=11$$

讓 3x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-3\times 3x-3\times 5y=-3\times 4,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 11$$

化簡。

$$-9x-15y=-12,-9x+12y=33$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -9x-15y=-12 減去 -9x+12y=33。

$$-9x+9x-15y-12y=-12-33$$

將 -9x 加到 9x。 -9x 和 9x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y-12y=-12-33$$

將 -15y 加到 -12y。

$$-27y=-12-33$$

將 -12 加到 -33。

$$-27y=-45$$

將兩邊同時除以 -27。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 -3x+4y=11 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+4\times \frac{5}{3}=11$$

4 乘上 \frac{5}{3}。

$$-3x+\frac{20}{3}=11$$

從方程式兩邊減去 \frac{20}{3}。

$$-3x=\frac{13}{3}$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=-\frac{13}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{13}{9},y=\frac{5}{3}$$