解決{l}{3x+5y=-1}{3x+y=3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 1 } \\ { 3 x + y = 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+5y=-1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$3x=-5y-1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-1\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -5y-1。

$$x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 3x+y=3 中以 \frac{-5y-1}{3} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3}\right)+y=3$$

3 乘上 \frac{-5y-1}{3}。

$$-5y-1+y=3$$

將 -5y 加到 y。

$$-4y-1=3$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$-4y=4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{5}{3}y-\frac{1}{3} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)-\frac{1}{3}$$

-\frac{5}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{5-1}{3}$$

將 -\frac{1}{3} 與 \frac{5}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-5\times 3}&-\frac{5}{3-5\times 3}\\-\frac{3}{3-5\times 3}&\frac{3}{3-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\left(-1\right)+\frac{5}{12}\times 3\\\frac{1}{4}\left(-1\right)-\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+5y=-1,3x+y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+5y=-1 減去 3x+y=3。

$$3x-3x+5y-y=-1-3$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-y=-1-3$$

將 5y 加到 -y。

$$4y=-1-3$$

將 -1 加到 -3。

$$4y=-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-1$$

在 3x+y=3 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-1=3$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$3x=4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=-1$$