解決{l}{3x+2y=7}{2x+y=4} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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3x+2y=7,2x+y=4

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3x+2y=7

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

3x=-2y+7

從方程式兩邊減去 2y。

x=\frac{1}{3}\left(-2y+7\right)

將兩邊同時除以 3。

x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}

\frac{1}{3} 乘上 -2y+7。

2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3}\right)+y=4

在另一個方程式 2x+y=4 中以 \frac{-2y+7}{3} 代入 x在方程式。

-\frac{4}{3}y+\frac{14}{3}+y=4

2 乘上 \frac{-2y+7}{3}。

-\frac{1}{3}y+\frac{14}{3}=4

將 -\frac{4y}{3} 加到 y。

-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}

從方程式兩邊減去 \frac{14}{3}。

y=2

將兩邊同時乘上 -3。

x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{7}{3}

在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{7}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-4+7}{3}

-\frac{2}{3} 乘上 2。

x=1

將 \frac{7}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=1,y=2

現已成功解出系統。

3x+2y=7,2x+y=4

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\4\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7+2\times 4\\2\times 7-3\times 4\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)

計算。

x=1,y=2

解出矩陣元素 x 和 y。

3x+2y=7,2x+y=4

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

2\times 3x+2\times 2y=2\times 7,3\times 2x+3y=3\times 4

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。