解決{l}{3x+2y=4}{6x-2y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 y = 4 } \\ { 6 x - 2 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+2y=4$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$3x=-2y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -2y+4。

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 6x-2y=-1 中以 \frac{-2y+4}{3} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=-1$$

6 乘上 \frac{-2y+4}{3}。

$$-4y+8-2y=-1$$

將 -4y 加到 -2y。

$$-6y+8=-1$$

從方程式兩邊減去 8。

$$-6y=-9$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 x=-\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}+\frac{4}{3}$$

-\frac{2}{3} 乘上 \frac{3}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-1+\frac{4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 加到 -1。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{3\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{3\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{3}{3\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 4+\frac{1}{9}\left(-1\right)\\\frac{1}{3}\times 4-\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+2y=4,6x-2y=-1$$

讓 3x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$6\times 3x+6\times 2y=6\times 4,3\times 6x+3\left(-2\right)y=3\left(-1\right)$$

化簡。

$$18x+12y=24,18x-6y=-3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 18x+12y=24 減去 18x-6y=-3。

$$18x-18x+12y+6y=24+3$$

將 18x 加到 -18x。 18x 和 -18x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$12y+6y=24+3$$

將 12y 加到 6y。

$$18y=24+3$$

將 24 加到 3。

$$18y=27$$

將兩邊同時除以 18。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 6x-2y=-1 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x-2\times \frac{3}{2}=-1$$

-2 乘上 \frac{3}{2}。

$$6x-3=-1$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$6x=2$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{3},y=\frac{3}{2}$$