解決{l}{3m+4n=7}{4m-3n-1=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 m + 4 n = 7 } \\ { 4 m - 3 n - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=1$$

$$n=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$3m+4n=7$$

從方程式兩邊減去 4n。

$$3m=-4n+7$$

將兩邊同時除以 3。

$$m=\frac{1}{3}\left(-4n+7\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -4n+7。

$$m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 4m-3n-1=0 中以 \frac{-4n+7}{3} 代入 m在方程式。

$$4\left(-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3}\right)-3n-1=0$$

4 乘上 \frac{-4n+7}{3}。

$$-\frac{16}{3}n+\frac{28}{3}-3n-1=0$$

將 -\frac{16n}{3} 加到 -3n。

$$-\frac{25}{3}n+\frac{28}{3}-1=0$$

將 \frac{28}{3} 加到 -1。

$$-\frac{25}{3}n+\frac{25}{3}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{25}{3}。

$$-\frac{25}{3}n=-\frac{25}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{25}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=1$$

在 m=-\frac{4}{3}n+\frac{7}{3} 中以 1 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=\frac{-4+7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=1$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}&-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-4\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 7+\frac{4}{25}\\\frac{4}{25}\times 7-\frac{3}{25}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=1,n=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3m+4n=7,4m-3n-1=0$$

讓 3m 和 4m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3m+4\times 4n=4\times 7,3\times 4m+3\left(-3\right)n+3\left(-1\right)=0$$

化簡。

$$12m+16n=28,12m-9n-3=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12m+16n=28 減去 12m-9n-3=0。

$$12m-12m+16n+9n+3=28$$

將 12m 加到 -12m。 12m 和 -12m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$16n+9n+3=28$$

將 16n 加到 9n。

$$25n+3=28$$

從方程式兩邊減去 3。

$$25n=25$$

將兩邊同時除以 25。

$$n=1$$

在 4m-3n-1=0 中以 1 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$4m-3-1=0$$

將 -3 加到 -1。

$$4m-4=0$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$4m=4$$

將兩邊同時除以 4。

$$m=1$$

現已成功解出系統。

$$m=1,n=1$$