解決{l}{3b=2b-a+2}{b-a=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 b = 2 b - a + 2 } \\ { b - a = 2 } \end{array} \right.$$

解 b、a

$$b=2$$

$$a=0$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2b。

$$3b-2b=-a+2$$

合併 3b 和 -2b 以取得 b。

$$b=-a+2$$

在另一個方程式 b-a=2 中以 -a+2 代入 b在方程式。

$$-a+2-a=2$$

將 -a 加到 -a。

$$-2a+2=2$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-2a=0$$

將兩邊同時除以 -2。

$$a=0$$

在 b=-a+2 中以 0 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$b=2$$

現已成功解出系統。

$$b=2,a=0$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2b。

$$3b-2b=-a+2$$

合併 3b 和 -2b 以取得 b。

$$b=-a+2$$

新增 a 至兩側。

$$b+a=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$b+a=2,b-a=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2+\frac{1}{2}\times 2\\\frac{1}{2}\times 2-\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}b\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 b 和 a。

$$b=2,a=0$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 2b。

$$3b-2b=-a+2$$

合併 3b 和 -2b 以取得 b。

$$b=-a+2$$

新增 a 至兩側。

$$b+a=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$b+a=2,b-a=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 b+a=2 減去 b-a=2。

$$b-b+a+a=2-2$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$a+a=2-2$$

將 a 加到 a。

$$2a=2-2$$

將 2 加到 -2。

$$2a=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$a=0$$

在 b-a=2 中以 0 代入 a。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$b=2$$

現已成功解出系統。

$$b=2,a=0$$