解決{l}{3a+14b=4}{13a+19b=13} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 a + 14 b = 4 } \\ { 13 a + 19 b = 13 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=\frac{106}{125}=0.848$$

$$b=\frac{13}{125}=0.104$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$3a+14b=4$$

從方程式兩邊減去 14b。

$$3a=-14b+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$a=\frac{1}{3}\left(-14b+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -14b+4。

$$a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 13a+19b=13 中以 \frac{-14b+4}{3} 代入 a在方程式。

$$13\left(-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3}\right)+19b=13$$

13 乘上 \frac{-14b+4}{3}。

$$-\frac{182}{3}b+\frac{52}{3}+19b=13$$

將 -\frac{182b}{3} 加到 19b。

$$-\frac{125}{3}b+\frac{52}{3}=13$$

從方程式兩邊減去 \frac{52}{3}。

$$-\frac{125}{3}b=-\frac{13}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{125}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=\frac{13}{125}$$

在 a=-\frac{14}{3}b+\frac{4}{3} 中以 \frac{13}{125} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=-\frac{14}{3}\times \frac{13}{125}+\frac{4}{3}$$

-\frac{14}{3} 乘上 \frac{13}{125} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$a=-\frac{182}{375}+\frac{4}{3}$$

將 \frac{4}{3} 與 -\frac{182}{375} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=\frac{106}{125}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&14\\13&19\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{3\times 19-14\times 13}&-\frac{14}{3\times 19-14\times 13}\\-\frac{13}{3\times 19-14\times 13}&\frac{3}{3\times 19-14\times 13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}&\frac{14}{125}\\\frac{13}{125}&-\frac{3}{125}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\13\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{125}\times 4+\frac{14}{125}\times 13\\\frac{13}{125}\times 4-\frac{3}{125}\times 13\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{106}{125}\\\frac{13}{125}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3a+14b=4,13a+19b=13$$

讓 3a 和 13a 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 13，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$13\times 3a+13\times 14b=13\times 4,3\times 13a+3\times 19b=3\times 13$$

化簡。

$$39a+182b=52,39a+57b=39$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 39a+182b=52 減去 39a+57b=39。

$$39a-39a+182b-57b=52-39$$

將 39a 加到 -39a。 39a 和 -39a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$182b-57b=52-39$$

將 182b 加到 -57b。

$$125b=52-39$$

將 52 加到 -39。

$$125b=13$$

將兩邊同時除以 125。

$$b=\frac{13}{125}$$

在 13a+19b=13 中以 \frac{13}{125} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$13a+19\times \frac{13}{125}=13$$

19 乘上 \frac{13}{125}。

$$13a+\frac{247}{125}=13$$

從方程式兩邊減去 \frac{247}{125}。

$$13a=\frac{1378}{125}$$

將兩邊同時除以 13。

$$a=\frac{106}{125}$$

現已成功解出系統。

$$a=\frac{106}{125},b=\frac{13}{125}$$