解決{l}{3(x-1)=2(y-1)}{4(y-1)=3(x+5)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x - 1 ) = 2 ( y - 1 ) } \\ { 4 ( y - 1 ) = 3 ( x + 5 ) } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=10$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2y-2$$

從兩邊減去 2y。

$$3x-3-2y=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-2y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-2y=1$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

計算 3 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3x+15$$

從兩邊減去 3x。

$$4y-4-3x=15$$

新增 4 至兩側。

$$4y-3x=15+4$$

將 15 與 4 相加可以得到 19。

$$4y-3x=19$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-2y=1$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$3x=2y+1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 2y+1。

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 -3x+4y=19 中以 \frac{2y+1}{3} 代入 x在方程式。

$$-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{1}{3}\right)+4y=19$$

-3 乘上 \frac{2y+1}{3}。

$$-2y-1+4y=19$$

將 -2y 加到 4y。

$$2y-1=19$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2y=20$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=10$$

在 x=\frac{2}{3}y+\frac{1}{3} 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\times 10+\frac{1}{3}$$

\frac{2}{3} 乘上 10。

$$x=\frac{20+1}{3}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{20}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=10$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2y-2$$

從兩邊減去 2y。

$$3x-3-2y=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-2y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-2y=1$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

計算 3 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3x+15$$

從兩邊減去 3x。

$$4y-4-3x=15$$

新增 4 至兩側。

$$4y-3x=15+4$$

將 15 與 4 相加可以得到 19。

$$4y-3x=19$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 19\\\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=10$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2\left(y-1\right)$$

計算 2 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$3x-3=2y-2$$

從兩邊減去 2y。

$$3x-3-2y=-2$$

新增 3 至兩側。

$$3x-2y=-2+3$$

將 -2 與 3 相加可以得到 1。

$$3x-2y=1$$

考慮第二個方程式。 計算 4 乘上 y-1 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3\left(x+5\right)$$

計算 3 乘上 x+5 時使用乘法分配律。

$$4y-4=3x+15$$

從兩邊減去 3x。

$$4y-4-3x=15$$

新增 4 至兩側。

$$4y-3x=15+4$$

將 15 與 4 相加可以得到 19。

$$4y-3x=19$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-2y=1,-3x+4y=19$$

讓 3x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\times 19$$

化簡。

$$-9x+6y=-3,-9x+12y=57$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -9x+6y=-3 減去 -9x+12y=57。

$$-9x+9x+6y-12y=-3-57$$

將 -9x 加到 9x。 -9x 和 9x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$6y-12y=-3-57$$

將 6y 加到 -12y。

$$-6y=-3-57$$

將 -3 加到 -57。

$$-6y=-60$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=10$$

在 -3x+4y=19 中以 10 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-3x+4\times 10=19$$

4 乘上 10。

$$-3x+40=19$$

從方程式兩邊減去 40。

$$-3x=-21$$

將兩邊同時除以 -3。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=10$$