解決{l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+3y+4y=-18$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$-x+7y=-18$$

考慮第二個方程式。 計算 \frac{1}{2} 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

計算 \frac{1}{6} 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}x 和 \frac{1}{6}x 以取得 \frac{2}{3}x。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -\frac{1}{6}y 以取得 \frac{1}{3}y。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-x+7y=-18$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$-x=-7y-18$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

-1 乘上 -7y-18。

$$x=7y+18$$

在另一個方程式 \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 中以 7y+18 代入 x在方程式。

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

\frac{2}{3} 乘上 7y+18。

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

將 \frac{14y}{3} 加到 \frac{y}{3}。

$$5y+12=2$$

從方程式兩邊減去 12。

$$5y=-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-2$$

在 x=7y+18 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=7\left(-2\right)+18$$

7 乘上 -2。

$$x=-14+18$$

將 18 加到 -14。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+3y+4y=-18$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$-x+7y=-18$$

考慮第二個方程式。 計算 \frac{1}{2} 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

計算 \frac{1}{6} 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}x 和 \frac{1}{6}x 以取得 \frac{2}{3}x。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -\frac{1}{6}y 以取得 \frac{1}{3}y。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

合併 3x 和 -4x 以取得 -x。

$$-x+3y+4y=-18$$

合併 3y 和 4y 以取得 7y。

$$-x+7y=-18$$

考慮第二個方程式。 計算 \frac{1}{2} 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

計算 \frac{1}{6} 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}x 和 \frac{1}{6}x 以取得 \frac{2}{3}x。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

合併 \frac{1}{2}y 和 -\frac{1}{6}y 以取得 \frac{1}{3}y。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

讓 -x 和 \frac{2x}{3} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{2}{3}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1。

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

化簡。

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 減去 -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2。

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

將 -\frac{2x}{3} 加到 \frac{2x}{3}。 -\frac{2x}{3} 和 \frac{2x}{3} 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

將 \frac{14y}{3} 加到 \frac{y}{3}。

$$5y=-12+2$$

將 -12 加到 2。

$$5y=-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-2$$

在 \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

\frac{1}{3} 乘上 -2。

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

將 \frac{2}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{2}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-2$$