解決{l}{3(x+y)=5x-y+2}{2(x-y)=3x+y-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) = 5 x - y + 2 } \\ { 2 ( x - y ) = 3 x + y - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y=5x-y+2$$

從兩邊減去 5x。

$$3x+3y-5x=-y+2$$

合併 3x 和 -5x 以取得 -2x。

$$-2x+3y=-y+2$$

新增 y 至兩側。

$$-2x+3y+y=2$$

合併 3y 和 y 以取得 4y。

$$-2x+4y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y=3x+y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3x=y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y=y-4$$

從兩邊減去 y。

$$-x-2y-y=-4$$

合併 -2y 和 -y 以取得 -3y。

$$-x-3y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x+4y=2$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$-2x=-4y+2$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-4y+2\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 -4y+2。

$$x=2y-1$$

在另一個方程式 -x-3y=-4 中以 2y-1 代入 x在方程式。

$$-\left(2y-1\right)-3y=-4$$

-1 乘上 2y-1。

$$-2y+1-3y=-4$$

將 -2y 加到 -3y。

$$-5y+1=-4$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-5y=-5$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=1$$

在 x=2y-1 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=2-1$$

將 -1 加到 2。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y=5x-y+2$$

從兩邊減去 5x。

$$3x+3y-5x=-y+2$$

合併 3x 和 -5x 以取得 -2x。

$$-2x+3y=-y+2$$

新增 y 至兩側。

$$-2x+3y+y=2$$

合併 3y 和 y 以取得 4y。

$$-2x+4y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y=3x+y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3x=y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y=y-4$$

從兩邊減去 y。

$$-x-2y-y=-4$$

合併 -2y 和 -y 以取得 -3y。

$$-x-3y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&4\\-1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{4}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-3\right)-4\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\times 2-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\times 2-\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y=5x-y+2$$

從兩邊減去 5x。

$$3x+3y-5x=-y+2$$

合併 3x 和 -5x 以取得 -2x。

$$-2x+3y=-y+2$$

新增 y 至兩側。

$$-2x+3y+y=2$$

合併 3y 和 y 以取得 4y。

$$-2x+4y=2$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x-2y=3x+y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x-2y-3x=y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x-2y=y-4$$

從兩邊減去 y。

$$-x-2y-y=-4$$

合併 -2y 和 -y 以取得 -3y。

$$-x-3y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x+4y=2,-x-3y=-4$$

讓 -2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-\left(-2\right)x-4y=-2,-2\left(-1\right)x-2\left(-3\right)y=-2\left(-4\right)$$

化簡。

$$2x-4y=-2,2x+6y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-4y=-2 減去 2x+6y=8。

$$2x-2x-4y-6y=-2-8$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-6y=-2-8$$

將 -4y 加到 -6y。

$$-10y=-2-8$$

將 -2 加到 -8。

$$-10y=-10$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=1$$

在 -x-3y=-4 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x-3=-4$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$-x=-1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=1$$