解決{l}{3(x+y)+9=2(x-y)}{2(x+y)=3(x-y)-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) + 9 = 2 ( x - y ) } \\ { 2 ( x + y ) = 3 ( x - y ) - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$y = -\frac{13}{10} = -1\frac{3}{10} = -1.3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2x-2y$$

從兩邊減去 2x。

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

合併 3x 和 -2x 以取得 x。

$$x+3y+9=-2y$$

新增 2y 至兩側。

$$x+3y+9+2y=0$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$x+5y+9=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x+5y=-9$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3x-3y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y=-3y-4$$

新增 3y 至兩側。

$$-x+2y+3y=-4$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=-4$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+5y=-9$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$x=-5y-9$$

在另一個方程式 -x+5y=-4 中以 -5y-9 代入 x在方程式。

$$-\left(-5y-9\right)+5y=-4$$

-1 乘上 -5y-9。

$$5y+9+5y=-4$$

將 5y 加到 5y。

$$10y+9=-4$$

從方程式兩邊減去 9。

$$10y=-13$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-\frac{13}{10}$$

在 x=-5y-9 中以 -\frac{13}{10} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-5\left(-\frac{13}{10}\right)-9$$

-5 乘上 -\frac{13}{10}。

$$x=\frac{13}{2}-9$$

將 -9 加到 \frac{13}{2}。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2x-2y$$

從兩邊減去 2x。

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

合併 3x 和 -2x 以取得 x。

$$x+3y+9=-2y$$

新增 2y 至兩側。

$$x+3y+9+2y=0$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$x+5y+9=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x+5y=-9$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3x-3y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y=-3y-4$$

新增 3y 至兩側。

$$-x+2y+3y=-4$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=-4$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{5-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-5\left(-1\right)}&\frac{1}{5-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)-\frac{1}{2}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}\left(-9\right)+\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\-\frac{13}{10}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2\left(x-y\right)$$

計算 2 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$3x+3y+9=2x-2y$$

從兩邊減去 2x。

$$3x+3y+9-2x=-2y$$

合併 3x 和 -2x 以取得 x。

$$x+3y+9=-2y$$

新增 2y 至兩側。

$$x+3y+9+2y=0$$

合併 3y 和 2y 以取得 5y。

$$x+5y+9=0$$

從兩邊減去 9。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$x+5y=-9$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3\left(x-y\right)-4$$

計算 3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。

$$2x+2y=3x-3y-4$$

從兩邊減去 3x。

$$2x+2y-3x=-3y-4$$

合併 2x 和 -3x 以取得 -x。

$$-x+2y=-3y-4$$

新增 3y 至兩側。

$$-x+2y+3y=-4$$

合併 2y 和 3y 以取得 5y。

$$-x+5y=-4$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+5y=-9,-x+5y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+5y=-9 減去 -x+5y=-4。

$$x+x+5y-5y=-9+4$$

將 5y 加到 -5y。 5y 和 -5y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$x+x=-9+4$$

將 x 加到 x。

$$2x=-9+4$$

將 -9 加到 4。

$$2x=-5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{5}{2}$$

在 -x+5y=-4 中以 -\frac{5}{2} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-\left(-\frac{5}{2}\right)+5y=-4$$

-1 乘上 -\frac{5}{2}。

$$\frac{5}{2}+5y=-4$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$5y=-\frac{13}{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$y=-\frac{13}{10}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{5}{2},y=-\frac{13}{10}$$