解決{l}{3(x+2)=2y}{2cy+s=7x} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + 2 ) = 2 y } \\ { 2 c y + s = 7 x } \end{array} \right.$$

解 x、y (復數求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-2y=-6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$3x=2y-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -6+2y。

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

在另一個方程式 -7x+2cy=-s 中以 \frac{2y}{3}-2 代入 x在方程式。

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

-7 乘上 \frac{2y}{3}-2。

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

將 -\frac{14y}{3} 加到 2cy。

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

從方程式兩邊減去 14。

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

將兩邊同時除以 -\frac{14}{3}+2c。

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

在 x=\frac{2}{3}y-2 中以 -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

\frac{2}{3} 乘上 -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}。

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

將 -2 加到 -\frac{s+14}{-7+3c}。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

讓 3x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

化簡。

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -21x+14y=42 減去 -21x+6cy=-3s。

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

將 -21x 加到 21x。 -21x 和 21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

將 14y 加到 -6cy。

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

將 42 加到 3s。

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

將兩邊同時除以 14-6c。

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

在 -7x+2cy=-s 中以 \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

2c 乘上 \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}。

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

從方程式兩邊減去 \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c}。

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

解 x、y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{s+6c}{3c-7}\text{, }y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\text{, }&c\neq \frac{7}{3}\\x=\frac{2\left(y-3\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=\frac{7}{3}\text{ and }s=-14\end{matrix}\right.$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-2y=-6$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$3x=2y-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(2y-6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -6+2y。

$$x=\frac{2}{3}y-2$$

在另一個方程式 -7x+2cy=-s 中以 \frac{2y}{3}-2 代入 x在方程式。

$$-7\left(\frac{2}{3}y-2\right)+2cy=-s$$

-7 乘上 \frac{2y}{3}-2。

$$-\frac{14}{3}y+14+2cy=-s$$

將 -\frac{14y}{3} 加到 2cy。

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y+14=-s$$

從方程式兩邊減去 14。

$$\left(2c-\frac{14}{3}\right)y=-s-14$$

將兩邊同時除以 -\frac{14}{3}+2c。

$$y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

在 x=\frac{2}{3}y-2 中以 -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\left(-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\right)-2$$

\frac{2}{3} 乘上 -\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(-7+3c\right)}。

$$x=-\frac{s+14}{3c-7}-2$$

將 -2 加到 -\frac{s+14}{-7+3c}。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-7&2c\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2c}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\\-\frac{-7}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}&\frac{3}{3\times 2c-\left(-2\left(-7\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}&\frac{1}{3c-7}\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}&\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\-s\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c}{3c-7}\left(-6\right)+\frac{1}{3c-7}\left(-s\right)\\\frac{7}{2\left(3c-7\right)}\left(-6\right)+\frac{3}{2\left(3c-7\right)}\left(-s\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{s+6c}{3c-7}\\-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{s+6c}{3c-7},y=-\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(3c-7\right)}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$3x+6=2y$$

從兩邊減去 2y。

$$3x+6-2y=0$$

從兩邊減去 6。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$3x-2y=-6$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 7x。

$$2cy+s-7x=0$$

從兩邊減去 s。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$2cy-7x=-s$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-2y=-6,-7x+2cy=-s$$

讓 3x 和 -7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-7\times 3x-7\left(-2\right)y=-7\left(-6\right),3\left(-7\right)x+3\times 2cy=3\left(-s\right)$$

化簡。

$$-21x+14y=42,-21x+6cy=-3s$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -21x+14y=42 減去 -21x+6cy=-3s。

$$-21x+21x+14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

將 -21x 加到 21x。 -21x 和 21x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y+\left(-6c\right)y=42+3s$$

將 14y 加到 -6cy。

$$\left(14-6c\right)y=42+3s$$

將 42 加到 3s。

$$\left(14-6c\right)y=3s+42$$

將兩邊同時除以 14-6c。

$$y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$

在 -7x+2cy=-s 中以 \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-7x+2c\times \frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}=-s$$

2c 乘上 \frac{3\left(14+s\right)}{2\left(7-3c\right)}。

$$-7x+\frac{3c\left(s+14\right)}{7-3c}=-s$$

從方程式兩邊減去 \frac{3c\left(14+s\right)}{7-3c}。

$$-7x=-\frac{7\left(s+6c\right)}{7-3c}$$

將兩邊同時除以 -7。

$$x=\frac{s+6c}{7-3c}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{s+6c}{7-3c},y=\frac{3\left(s+14\right)}{2\left(7-3c\right)}$$