解決{l}{3(5x-2)-7(2y+3)=2}{2(3x-y)-23=3(4-9x)} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 5 x - 2 ) - 7 ( 2 y + 3 ) = 2 } \\ { 2 ( 3 x - y ) - 23 = 3 ( 4 - 9 x ) } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 5x-2 時使用乘法分配律。

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

計算 -7 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$15x-6-14y-21=2$$

從 -6 減去 21 會得到 -27。

$$15x-27-14y=2$$

新增 27 至兩側。

$$15x-14y=2+27$$

將 2 與 27 相加可以得到 29。

$$15x-14y=29$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

計算 3 乘上 4-9x 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=12-27x$$

新增 27x 至兩側。

$$6x-2y-23+27x=12$$

合併 6x 和 27x 以取得 33x。

$$33x-2y-23=12$$

新增 23 至兩側。

$$33x-2y=12+23$$

將 12 與 23 相加可以得到 35。

$$33x-2y=35$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$15x-14y=29$$

將 14y 加到方程式的兩邊。

$$15x=14y+29$$

將兩邊同時除以 15。

$$x=\frac{1}{15}\left(14y+29\right)$$

\frac{1}{15} 乘上 14y+29。

$$x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}$$

在另一個方程式 33x-2y=35 中以 \frac{14y+29}{15} 代入 x在方程式。

$$33\left(\frac{14}{15}y+\frac{29}{15}\right)-2y=35$$

33 乘上 \frac{14y+29}{15}。

$$\frac{154}{5}y+\frac{319}{5}-2y=35$$

將 \frac{154y}{5} 加到 -2y。

$$\frac{144}{5}y+\frac{319}{5}=35$$

從方程式兩邊減去 \frac{319}{5}。

$$\frac{144}{5}y=-\frac{144}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{144}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{14}{15}y+\frac{29}{15} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{14}{15}\left(-1\right)+\frac{29}{15}$$

\frac{14}{15} 乘上 -1。

$$x=\frac{-14+29}{15}$$

將 \frac{29}{15} 與 -\frac{14}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 5x-2 時使用乘法分配律。

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

計算 -7 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$15x-6-14y-21=2$$

從 -6 減去 21 會得到 -27。

$$15x-27-14y=2$$

新增 27 至兩側。

$$15x-14y=2+27$$

將 2 與 27 相加可以得到 29。

$$15x-14y=29$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

計算 3 乘上 4-9x 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=12-27x$$

新增 27x 至兩側。

$$6x-2y-23+27x=12$$

合併 6x 和 27x 以取得 33x。

$$33x-2y-23=12$$

新增 23 至兩側。

$$33x-2y=12+23$$

將 12 與 23 相加可以得到 35。

$$33x-2y=35$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}15&-14\\33&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&-\frac{-14}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\\-\frac{33}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}&\frac{15}{15\left(-2\right)-\left(-14\times 33\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}&\frac{7}{216}\\-\frac{11}{144}&\frac{5}{144}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}29\\35\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{216}\times 29+\frac{7}{216}\times 35\\-\frac{11}{144}\times 29+\frac{5}{144}\times 35\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 5x-2 時使用乘法分配律。

$$15x-6-7\left(2y+3\right)=2$$

計算 -7 乘上 2y+3 時使用乘法分配律。

$$15x-6-14y-21=2$$

從 -6 減去 21 會得到 -27。

$$15x-27-14y=2$$

新增 27 至兩側。

$$15x-14y=2+27$$

將 2 與 27 相加可以得到 29。

$$15x-14y=29$$

考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 3x-y 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=3\left(4-9x\right)$$

計算 3 乘上 4-9x 時使用乘法分配律。

$$6x-2y-23=12-27x$$

新增 27x 至兩側。

$$6x-2y-23+27x=12$$

合併 6x 和 27x 以取得 33x。

$$33x-2y-23=12$$

新增 23 至兩側。

$$33x-2y=12+23$$

將 12 與 23 相加可以得到 35。

$$33x-2y=35$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$15x-14y=29,33x-2y=35$$

讓 15x 和 33x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 33，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 15。

$$33\times 15x+33\left(-14\right)y=33\times 29,15\times 33x+15\left(-2\right)y=15\times 35$$

化簡。

$$495x-462y=957,495x-30y=525$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 495x-462y=957 減去 495x-30y=525。

$$495x-495x-462y+30y=957-525$$

將 495x 加到 -495x。 495x 和 -495x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-462y+30y=957-525$$

將 -462y 加到 30y。

$$-432y=957-525$$

將 957 加到 -525。

$$-432y=432$$

將兩邊同時除以 -432。

$$y=-1$$

在 33x-2y=35 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$33x-2\left(-1\right)=35$$

-2 乘上 -1。

$$33x+2=35$$

從方程式兩邊減去 2。

$$33x=33$$

將兩邊同時除以 33。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$