解決{l}{25x+35y=16500}{x+y=500} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 25 x + 35 y = 16500 } \\ { x + y = 500 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=100$$

$$y=400$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$25x+35y=16500$$

從方程式兩邊減去 35y。

$$25x=-35y+16500$$

將兩邊同時除以 25。

$$x=\frac{1}{25}\left(-35y+16500\right)$$

\frac{1}{25} 乘上 -35y+16500。

$$x=-\frac{7}{5}y+660$$

在另一個方程式 x+y=500 中以 -\frac{7y}{5}+660 代入 x在方程式。

$$-\frac{7}{5}y+660+y=500$$

將 -\frac{7y}{5} 加到 y。

$$-\frac{2}{5}y+660=500$$

從方程式兩邊減去 660。

$$-\frac{2}{5}y=-160$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{2}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=400$$

在 x=-\frac{7}{5}y+660 中以 400 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{5}\times 400+660$$

-\frac{7}{5} 乘上 400。

$$x=-560+660$$

將 660 加到 -560。

$$x=100$$

現已成功解出系統。

$$x=100,y=400$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}25&35\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25-35}&-\frac{35}{25-35}\\-\frac{1}{25-35}&\frac{25}{25-35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&\frac{7}{2}\\\frac{1}{10}&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16500\\500\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}\times 16500+\frac{7}{2}\times 500\\\frac{1}{10}\times 16500-\frac{5}{2}\times 500\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\400\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=100,y=400$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$25x+35y=16500,x+y=500$$

讓 25x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 25。

$$25x+35y=16500,25x+25y=25\times 500$$

化簡。

$$25x+35y=16500,25x+25y=12500$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 25x+35y=16500 減去 25x+25y=12500。

$$25x-25x+35y-25y=16500-12500$$

將 25x 加到 -25x。 25x 和 -25x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$35y-25y=16500-12500$$

將 35y 加到 -25y。

$$10y=16500-12500$$

將 16500 加到 -12500。

$$10y=4000$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=400$$

在 x+y=500 中以 400 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+400=500$$

從方程式兩邊減去 400。

$$x=100$$

現已成功解出系統。

$$x=100,y=400$$