解決{l}{20-7600x-1600y=0}{20-1000x-6000y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 - 7600 x - 1600 y = 0 } \\ { 20 - 1000 x - 6000 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{500}=0.002$$

$$y=\frac{3}{1000}=0.003$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-7600x-1600y+20=0$$

從方程式兩邊減去 20。

$$-7600x-1600y=-20$$

將 1600y 加到方程式的兩邊。

$$-7600x=1600y-20$$

將兩邊同時除以 -7600。

$$x=-\frac{1}{7600}\left(1600y-20\right)$$

-\frac{1}{7600} 乘上 1600y-20。

$$x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}$$

在另一個方程式 -1000x-6000y+20=0 中以 -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380} 代入 x在方程式。

$$-1000\left(-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380}\right)-6000y+20=0$$

-1000 乘上 -\frac{4y}{19}+\frac{1}{380}。

$$\frac{4000}{19}y-\frac{50}{19}-6000y+20=0$$

將 \frac{4000y}{19} 加到 -6000y。

$$-\frac{110000}{19}y-\frac{50}{19}+20=0$$

將 -\frac{50}{19} 加到 20。

$$-\frac{110000}{19}y+\frac{330}{19}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{330}{19}。

$$-\frac{110000}{19}y=-\frac{330}{19}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{110000}{19}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{3}{1000}$$

在 x=-\frac{4}{19}y+\frac{1}{380} 中以 \frac{3}{1000} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{19}\times \frac{3}{1000}+\frac{1}{380}$$

-\frac{4}{19} 乘上 \frac{3}{1000} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{3}{4750}+\frac{1}{380}$$

將 \frac{1}{380} 與 -\frac{3}{4750} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{500}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7600&-1600\\-1000&-6000\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{-1600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\\-\frac{-1000}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}&-\frac{7600}{-7600\left(-6000\right)-\left(-1600\left(-1000\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}&\frac{1}{27500}\\\frac{1}{44000}&-\frac{19}{110000}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-20\\-20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{22000}\left(-20\right)+\frac{1}{27500}\left(-20\right)\\\frac{1}{44000}\left(-20\right)-\frac{19}{110000}\left(-20\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{500}\\\frac{3}{1000}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-7600x-1600y+20=0,-1000x-6000y+20=0$$

讓 -7600x 和 -1000x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1000，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -7600。

$$-1000\left(-7600\right)x-1000\left(-1600\right)y-1000\times 20=0,-7600\left(-1000\right)x-7600\left(-6000\right)y-7600\times 20=0$$

化簡。

$$7600000x+1600000y-20000=0,7600000x+45600000y-152000=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 7600000x+1600000y-20000=0 減去 7600000x+45600000y-152000=0。

$$7600000x-7600000x+1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

將 7600000x 加到 -7600000x。 7600000x 和 -7600000x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$1600000y-45600000y-20000+152000=0$$

將 1600000y 加到 -45600000y。

$$-44000000y-20000+152000=0$$

將 -20000 加到 152000。

$$-44000000y+132000=0$$

從方程式兩邊減去 132000。

$$-44000000y=-132000$$

將兩邊同時除以 -44000000。

$$y=\frac{3}{1000}$$

在 -1000x-6000y+20=0 中以 \frac{3}{1000} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-1000x-6000\times \frac{3}{1000}+20=0$$

-6000 乘上 \frac{3}{1000}。

$$-1000x-18+20=0$$

將 -18 加到 20。

$$-1000x+2=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-1000x=-2$$

將兩邊同時除以 -1000。

$$x=\frac{1}{500}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{500},y=\frac{3}{1000}$$