解決{l}{20+x+y=115}{11x=8y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 20 + x + y = 115 } \\ { 11 x = 8 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=40$$

$$y=55$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 20。

$$x+y=115-20$$

從 115 減去 20 會得到 95。

$$x+y=95$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 8y。

$$11x-8y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x+y=95,11x-8y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x+y=95$$

從方程式兩邊減去 y。

$$x=-y+95$$

在另一個方程式 11x-8y=0 中以 -y+95 代入 x在方程式。

$$11\left(-y+95\right)-8y=0$$

11 乘上 -y+95。

$$-11y+1045-8y=0$$

將 -11y 加到 -8y。

$$-19y+1045=0$$

從方程式兩邊減去 1045。

$$-19y=-1045$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=55$$

在 x=-y+95 中以 55 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-55+95$$

將 95 加到 -55。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=55$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 20。

$$x+y=115-20$$

從 115 減去 20 會得到 95。

$$x+y=95$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 8y。

$$11x-8y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x+y=95,11x-8y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\11&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{-8-11}&-\frac{1}{-8-11}\\-\frac{11}{-8-11}&\frac{1}{-8-11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{11}{19}&-\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}95\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{19}\times 95\\\frac{11}{19}\times 95\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}40\\55\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=40,y=55$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 20。

$$x+y=115-20$$

從 115 減去 20 會得到 95。

$$x+y=95$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 8y。

$$11x-8y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x+y=95,11x-8y=0$$

讓 x 和 11x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 11，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$11x+11y=11\times 95,11x-8y=0$$

化簡。

$$11x+11y=1045,11x-8y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 11x+11y=1045 減去 11x-8y=0。

$$11x-11x+11y+8y=1045$$

將 11x 加到 -11x。 11x 和 -11x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$11y+8y=1045$$

將 11y 加到 8y。

$$19y=1045$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=55$$

在 11x-8y=0 中以 55 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$11x-8\times 55=0$$

-8 乘上 55。

$$11x-440=0$$

將 440 加到方程式的兩邊。

$$11x=440$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=40$$

現已成功解出系統。

$$x=40,y=55$$