解決{l}{2y=3x-6}{5x+4y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 y = 3 x - 6 } \\ { 5 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x = \frac{20}{11} = 1\frac{9}{11} \approx 1.818181818$$

$$y=-\frac{3}{11}\approx -0.272727273$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-6$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$2y-3x=-6$$

將 3x 加到方程式的兩邊。

$$2y=3x-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -6+3x。

$$y=\frac{3}{2}x-3$$

在另一個方程式 4y+5x=8 中以 \frac{3x}{2}-3 代入 y在方程式。

$$4\left(\frac{3}{2}x-3\right)+5x=8$$

4 乘上 \frac{3x}{2}-3。

$$6x-12+5x=8$$

將 6x 加到 5x。

$$11x-12=8$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$11x=20$$

將兩邊同時除以 11。

$$x=\frac{20}{11}$$

在 y=\frac{3}{2}x-3 中以 \frac{20}{11} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{3}{2}\times \frac{20}{11}-3$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{20}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$y=\frac{30}{11}-3$$

將 -3 加到 \frac{30}{11}。

$$y=-\frac{3}{11}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-6$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}&\frac{3}{22}\\-\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{22}\left(-6\right)+\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{2}{11}\left(-6\right)+\frac{1}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\\\frac{20}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 3x。

$$2y-3x=-6$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2y-3x=-6,4y+5x=8$$

讓 2y 和 4y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2y+4\left(-3\right)x=4\left(-6\right),2\times 4y+2\times 5x=2\times 8$$

化簡。

$$8y-12x=-24,8y+10x=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8y-12x=-24 減去 8y+10x=16。

$$8y-8y-12x-10x=-24-16$$

將 8y 加到 -8y。 8y 和 -8y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-12x-10x=-24-16$$

將 -12x 加到 -10x。

$$-22x=-24-16$$

將 -24 加到 -16。

$$-22x=-40$$

將兩邊同時除以 -22。

$$x=\frac{20}{11}$$

在 4y+5x=8 中以 \frac{20}{11} 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4y+5\times \frac{20}{11}=8$$

5 乘上 \frac{20}{11}。

$$4y+\frac{100}{11}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{100}{11}。

$$4y=-\frac{12}{11}$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=-\frac{3}{11}$$

現已成功解出系統。

$$y=-\frac{3}{11},x=\frac{20}{11}$$