解決{l}{2x-y=5}{-x=30-3y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=9$$

$$y=13$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-x+3y=30$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=5$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+5$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+5。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 -x+3y=30 中以 \frac{5+y}{2} 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

-1 乘上 \frac{5+y}{2}。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

將 -\frac{y}{2} 加到 3y。

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

將 \frac{5}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{5}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=13$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} 中以 13 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 13。

$$x=\frac{13+5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{13}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=13$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-x+3y=30$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=9,y=13$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 新增 3y 至兩側。

$$-x+3y=30$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

化簡。

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+y=-5 減去 -2x+6y=60。

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-6y=-5-60$$

將 y 加到 -6y。

$$-5y=-5-60$$

將 -5 加到 -60。

$$-5y=-65$$

將兩邊同時除以 -5。

$$y=13$$

在 -x+3y=30 中以 13 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+3\times 13=30$$

3 乘上 13。

$$-x+39=30$$

從方程式兩邊減去 39。

$$-x=-9$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=9$$

現已成功解出系統。

$$x=9,y=13$$