解決{l}{2x-y=4x-3}{2(x+y)=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 x - 3 } \\ { 2 ( x + y ) = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$2x-y-4x=-3$$

合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。

$$-2x-y=-3$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$x+y=\frac{1}{2}$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$-2x-y=-3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$-2x=y-3$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

-\frac{1}{2} 乘上 y-3。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 x+y=\frac{1}{2} 中以 \frac{-y+3}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+y=\frac{1}{2}$$

將 -\frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{1}{2}y=-1$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=-2$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -2。

$$x=1+\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 加到 1。

$$x=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$2x-y-4x=-3$$

合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。

$$-2x-y=-3$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$x+y=\frac{1}{2}$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-\frac{1}{2}\\-3+2\times \frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4x。

$$2x-y-4x=-3$$

合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。

$$-2x-y=-3$$

考慮第二個方程式。 將兩邊同時除以 2。

$$x+y=\frac{1}{2}$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$-2x-y=-3,x+y=\frac{1}{2}$$

讓 -2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2。

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-2\times \frac{1}{2}$$

化簡。

$$-2x-y=-3,-2x-2y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-y=-3 減去 -2x-2y=-1。

$$-2x+2x-y+2y=-3+1$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-y+2y=-3+1$$

將 -y 加到 2y。

$$y=-3+1$$

將 -3 加到 1。

$$y=-2$$

在 x+y=\frac{1}{2} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-2=\frac{1}{2}$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{2},y=-2$$