解決{l}{2x-y=4}{3x-5y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 4 } \\ { 3 x - 5 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{5}{7}\approx 0.714285714$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=4$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+4$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+4。

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

在另一個方程式 3x-5y=15 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{2}y+2\right)-5y=15$$

3 乘上 \frac{y}{2}+2。

$$\frac{3}{2}y+6-5y=15$$

將 \frac{3y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{7}{2}y+6=15$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-\frac{7}{2}y=9$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{18}{7}$$

在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 -\frac{18}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{18}{7}\right)+2$$

\frac{1}{2} 乘上 -\frac{18}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{9}{7}+2$$

將 2 加到 -\frac{9}{7}。

$$x=\frac{5}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\left(-5\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\times 4-\frac{1}{7}\times 15\\\frac{3}{7}\times 4-\frac{2}{7}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=4,3x-5y=15$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 15$$

化簡。

$$6x-3y=12,6x-10y=30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-3y=12 減去 6x-10y=30。

$$6x-6x-3y+10y=12-30$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y+10y=12-30$$

將 -3y 加到 10y。

$$7y=12-30$$

將 12 加到 -30。

$$7y=-18$$

將兩邊同時除以 7。

$$y=-\frac{18}{7}$$

在 3x-5y=15 中以 -\frac{18}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5\left(-\frac{18}{7}\right)=15$$

-5 乘上 -\frac{18}{7}。

$$3x+\frac{90}{7}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{90}{7}。

$$3x=\frac{15}{7}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{5}{7}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{7},y=-\frac{18}{7}$$