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解 x、y
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2x-y=4,3x+2y=-1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-y=4
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=y+4
將 y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{1}{2}y+2
\frac{1}{2} 乘上 y+4。
3\left(\frac{1}{2}y+2\right)+2y=-1
在另一個方程式 3x+2y=-1 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。
\frac{3}{2}y+6+2y=-1
3 乘上 \frac{y}{2}+2。
\frac{7}{2}y+6=-1
將 \frac{3y}{2} 加到 2y。
\frac{7}{2}y=-7
從方程式兩邊減去 6。
y=-2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2},與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{1}{2}\left(-2\right)+2
在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-1+2
\frac{1}{2} 乘上 -2。
x=1
將 2 加到 -1。
x=1,y=-2
現已成功解出系統。
2x-y=4,3x+2y=-1
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-1\right)\\-\frac{3}{7}\times 4+\frac{2}{7}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-y=4,3x+2y=-1
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4,2\times 3x+2\times 2y=2\left(-1\right)
讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
6x-3y=12,6x+4y=-2
化簡。
6x-6x-3y-4y=12+2
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 6x-3y=12 減去 6x+4y=-2。
-3y-4y=12+2
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-7y=12+2
將 -3y 加到 -4y。
-7y=14
將 12 加到 2。
y=-2
將兩邊同時除以 -7。
3x+2\left(-2\right)=-1
在 3x+2y=-1 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
3x-4=-1
2 乘上 -2。
3x=3
將 4 加到方程式的兩邊。
x=1
將兩邊同時除以 3。
x=1,y=-2
現已成功解出系統。