解決{l}{2x-y=3}{x-y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 3 } \\ { x - y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=3,x-y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+3$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+3。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 x-y=-1 中以 \frac{3+y}{2} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=-1$$

將 \frac{y}{2} 加到 -y。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{5}{2}$$

將兩邊同時乘上 -2。

$$y=5$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 5+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 5。

$$x=\frac{5+3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=3,x-y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3-\left(-1\right)\\3-2\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=3,x-y=-1$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x-y=3 減去 x-y=-1。

$$2x-x-y+y=3+1$$

將 -y 加到 y。 -y 和 y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-x=3+1$$

將 2x 加到 -x。

$$x=3+1$$

將 3 加到 1。

$$x=4$$

在 x-y=-1 中以 4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$4-y=-1$$

從方程式兩邊減去 4。

$$-y=-5$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=5$$