解決{l}{2x-y=2}{3x=2(5-y)} |Microsoft數學求解器

解 x, y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

來自 Web 搜索的類似問題

https://math.stackexchange.com/questions/419930/jacobi-method-and-frobenius-norm-question

https://math.stackexchange.com/q/2628927

https://math.stackexchange.com/questions/3139812/proving-piecewise-function-is-not-continuous

共享

已復制到剪貼板

3x=10-2y

考慮第二個方程式。計算 2 乘上 5-y 時使用乘法分配律。

3x+2y=10

新增 2y 至兩側。

2x-y=2,3x+2y=10

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

2x-y=2

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

2x=y+2

將 y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{2}\left(y+2\right)

將兩邊同時除以 2。

x=\frac{1}{2}y+1

\frac{1}{2} 乘上 y+2。

3\left(\frac{1}{2}y+1\right)+2y=10

在另一個方程式 3x+2y=10 中以 \frac{y}{2}+1 代入 x在方程式。

\frac{3}{2}y+3+2y=10

3 乘上 \frac{y}{2}+1。

\frac{7}{2}y+3=10

將 \frac{3y}{2} 加到 2y。

\frac{7}{2}y=7

從方程式兩邊減去 3。

y=2

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

x=\frac{1}{2}\times 2+1

在 x=\frac{1}{2}y+1 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=1+1

\frac{1}{2} 乘上 2。

x=2

將 1 加到 1。

x=2,y=2

現已成功解出系統。

3x=10-2y

考慮第二個方程式。計算 2 乘上 5-y 時使用乘法分配律。

3x+2y=10

新增 2y 至兩側。

2x-y=2,3x+2y=10

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{2\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 2+\frac{1}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 2+\frac{2}{7}\times 10\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)

計算。

x=2,y=2

解出矩陣元素 x 和 y。

3x=10-2y

考慮第二個方程式。計算 2 乘上 5-y 時使用乘法分配律。

3x+2y=10

新增 2y 至兩側。

2x-y=2,3x+2y=10

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 2,2\times 3x+2\times 2y=2\times 10