解決{l}{2x-7y=8}{y-2x=-3.20} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 7 y = 8 } \\ { y - 2 x = - 3.20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1.2$$

$$y=-0.8$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-7y=8$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$2x=7y+8$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(7y+8\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 7y+8。

$$x=\frac{7}{2}y+4$$

在另一個方程式 -2x+y=-3.2 中以 \frac{7y}{2}+4 代入 x在方程式。

$$-2\left(\frac{7}{2}y+4\right)+y=-3.2$$

-2 乘上 \frac{7y}{2}+4。

$$-7y-8+y=-3.2$$

將 -7y 加到 y。

$$-6y-8=-3.2$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$-6y=4.8$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=-0.8$$

在 x=\frac{7}{2}y+4 中以 -0.8 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{2}\left(-0.8\right)+4$$

\frac{7}{2} 乘上 -0.8 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{14}{5}+4$$

將 4 加到 -\frac{14}{5}。

$$x=\frac{6}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{6}{5},y=-0.8$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-7\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&-\frac{-7}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-7\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&-\frac{7}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3.2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 8-\frac{7}{12}\left(-3.2\right)\\-\frac{1}{6}\times 8-\frac{1}{6}\left(-3.2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-7y=8,-2x+y=-3.2$$

讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2x-2\left(-7\right)y=-2\times 8,2\left(-2\right)x+2y=2\left(-3.2\right)$$

化簡。

$$-4x+14y=-16,-4x+2y=-6.4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x+14y=-16 減去 -4x+2y=-6.4。

$$-4x+4x+14y-2y=-16+6.4$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$14y-2y=-16+6.4$$

將 14y 加到 -2y。

$$12y=-16+6.4$$

將 -16 加到 6.4。

$$12y=-9.6$$

將兩邊同時除以 12。

$$y=-\frac{4}{5}$$

在 -2x+y=-3.2 中以 -\frac{4}{5} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-\frac{4}{5}=-3.2$$

將 \frac{4}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-2x=-\frac{12}{5}$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=\frac{6}{5}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{6}{5},y=-\frac{4}{5}$$