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解 x、y
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2x-5y=7,4x+3y=1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x-5y=7
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=5y+7
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{2}\left(5y+7\right)
將兩邊同時除以 2。
x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}
\frac{1}{2} 乘上 5y+7。
4\left(\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}\right)+3y=1
在另一個方程式 4x+3y=1 中以 \frac{5y+7}{2} 代入 x在方程式。
10y+14+3y=1
4 乘上 \frac{5y+7}{2}。
13y+14=1
將 10y 加到 3y。
13y=-13
從方程式兩邊減去 14。
y=-1
將兩邊同時除以 13。
x=\frac{5}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}
在 x=\frac{5}{2}y+\frac{7}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=\frac{-5+7}{2}
\frac{5}{2} 乘上 -1。
x=1
將 \frac{7}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=-1
現已成功解出系統。
2x-5y=7,4x+3y=1
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{26}\times 7+\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
2x-5y=7,4x+3y=1
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4\times 2x+4\left(-5\right)y=4\times 7,2\times 4x+2\times 3y=2
讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4,以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
8x-20y=28,8x+6y=2
化簡。
8x-8x-20y-6y=28-2
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 8x-20y=28 減去 8x+6y=2。
-20y-6y=28-2
將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
-26y=28-2
將 -20y 加到 -6y。
-26y=26
將 28 加到 -2。
y=-1
將兩邊同時除以 -26。
4x+3\left(-1\right)=1
在 4x+3y=1 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
4x-3=1
3 乘上 -1。
4x=4
將 3 加到方程式的兩邊。
x=1
將兩邊同時除以 4。
x=1,y=-1
現已成功解出系統。