解決{l}{2x-3y-10=0}{7y=-17-8x} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 7 y = - 17 - 8 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 10 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-3y=10$$

考慮第二個方程式。 新增 8x 至兩側。

$$7y+8x=-17$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y=10$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y+10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3y+10。

$$x=\frac{3}{2}y+5$$

在另一個方程式 8x+7y=-17 中以 \frac{3y}{2}+5 代入 x在方程式。

$$8\left(\frac{3}{2}y+5\right)+7y=-17$$

8 乘上 \frac{3y}{2}+5。

$$12y+40+7y=-17$$

將 12y 加到 7y。

$$19y+40=-17$$

從方程式兩邊減去 40。

$$19y=-57$$

將兩邊同時除以 19。

$$y=-3$$

在 x=\frac{3}{2}y+5 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+5$$

\frac{3}{2} 乘上 -3。

$$x=-\frac{9}{2}+5$$

將 5 加到 -\frac{9}{2}。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 10 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-3y=10$$

考慮第二個方程式。 新增 8x 至兩側。

$$7y+8x=-17$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\8&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&-\frac{-3}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\\-\frac{8}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-3\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{4}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-17\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{38}\times 10+\frac{3}{38}\left(-17\right)\\-\frac{4}{19}\times 10+\frac{1}{19}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 10 至兩側。 任何項目加上零的結果都會是自己本身。

$$2x-3y=10$$

考慮第二個方程式。 新增 8x 至兩側。

$$7y+8x=-17$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y=10,8x+7y=-17$$

讓 2x 和 8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$8\times 2x+8\left(-3\right)y=8\times 10,2\times 8x+2\times 7y=2\left(-17\right)$$

化簡。

$$16x-24y=80,16x+14y=-34$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 16x-24y=80 減去 16x+14y=-34。

$$16x-16x-24y-14y=80+34$$

將 16x 加到 -16x。 16x 和 -16x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-24y-14y=80+34$$

將 -24y 加到 -14y。

$$-38y=80+34$$

將 80 加到 34。

$$-38y=114$$

將兩邊同時除以 -38。

$$y=-3$$

在 8x+7y=-17 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$8x+7\left(-3\right)=-17$$

7 乘上 -3。

$$8x-21=-17$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$8x=4$$

將兩邊同時除以 8。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$