解決{l}{2x-15=3(y+2)}{7(x-4)=-1-5y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 15 = 3 ( y + 2 ) } \\ { 7 ( x - 4 ) = - 1 - 5 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$2x-15=3y+6$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-15-3y=6$$

新增 15 至兩側。

$$2x-3y=6+15$$

將 6 與 15 相加可以得到 21。

$$2x-3y=21$$

考慮第二個方程式。 計算 7 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$7x-28=-1-5y$$

新增 5y 至兩側。

$$7x-28+5y=-1$$

新增 28 至兩側。

$$7x+5y=-1+28$$

將 -1 與 28 相加可以得到 27。

$$7x+5y=27$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y=21$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y+21$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+21\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 21+3y。

$$x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

在另一個方程式 7x+5y=27 中以 \frac{21+3y}{2} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}\right)+5y=27$$

7 乘上 \frac{21+3y}{2}。

$$\frac{21}{2}y+\frac{147}{2}+5y=27$$

將 \frac{21y}{2} 加到 5y。

$$\frac{31}{2}y+\frac{147}{2}=27$$

從方程式兩邊減去 \frac{147}{2}。

$$\frac{31}{2}y=-\frac{93}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{31}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=\frac{3}{2}y+\frac{21}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\left(-3\right)+\frac{21}{2}$$

\frac{3}{2} 乘上 -3。

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

將 \frac{21}{2} 與 -\frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$2x-15=3y+6$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-15-3y=6$$

新增 15 至兩側。

$$2x-3y=6+15$$

將 6 與 15 相加可以得到 21。

$$2x-3y=21$$

考慮第二個方程式。 計算 7 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$7x-28=-1-5y$$

新增 5y 至兩側。

$$7x-28+5y=-1$$

新增 28 至兩側。

$$7x+5y=-1+28$$

將 -1 與 28 相加可以得到 27。

$$7x+5y=27$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\\-\frac{7}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{3}{31}\\-\frac{7}{31}&\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\27\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 21+\frac{3}{31}\times 27\\-\frac{7}{31}\times 21+\frac{2}{31}\times 27\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 3 乘上 y+2 時使用乘法分配律。

$$2x-15=3y+6$$

從兩邊減去 3y。

$$2x-15-3y=6$$

新增 15 至兩側。

$$2x-3y=6+15$$

將 6 與 15 相加可以得到 21。

$$2x-3y=21$$

考慮第二個方程式。 計算 7 乘上 x-4 時使用乘法分配律。

$$7x-28=-1-5y$$

新增 5y 至兩側。

$$7x-28+5y=-1$$

新增 28 至兩側。

$$7x+5y=-1+28$$

將 -1 與 28 相加可以得到 27。

$$7x+5y=27$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y=21,7x+5y=27$$

讓 2x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$7\times 2x+7\left(-3\right)y=7\times 21,2\times 7x+2\times 5y=2\times 27$$

化簡。

$$14x-21y=147,14x+10y=54$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 14x-21y=147 減去 14x+10y=54。

$$14x-14x-21y-10y=147-54$$

將 14x 加到 -14x。 14x 和 -14x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-21y-10y=147-54$$

將 -21y 加到 -10y。

$$-31y=147-54$$

將 147 加到 -54。

$$-31y=93$$

將兩邊同時除以 -31。

$$y=-3$$

在 7x+5y=27 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+5\left(-3\right)=27$$

5 乘上 -3。

$$7x-15=27$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$7x=42$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-3$$