Solve {l}{2x+y=6}{4x-y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 6 } \\ { 4 x - y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{13}{6} = 2\frac{1}{6} \approx 2.166666667$$

$$y = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=6,4x-y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+6。

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

在另一個方程式 4x-y=7 中以 -\frac{y}{2}+3 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y+3\right)-y=7$$

4 乘上 -\frac{y}{2}+3。

$$-2y+12-y=7$$

將 -2y 加到 -y。

$$-3y+12=7$$

從方程式兩邊減去 12。

$$-3y=-5$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+3 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{5}{3}+3$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{5}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5}{6}+3$$

將 3 加到 -\frac{5}{6}。

$$x=\frac{13}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=6,4x-y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-4}\\-\frac{4}{2\left(-1\right)-4}&\frac{2}{2\left(-1\right)-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6+\frac{1}{6}\times 7\\\frac{2}{3}\times 6-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{6}\\\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=6,4x-y=7$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4y=4\times 6,2\times 4x+2\left(-1\right)y=2\times 7$$

化簡。

$$8x+4y=24,8x-2y=14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+4y=24 減去 8x-2y=14。

$$8x-8x+4y+2y=24-14$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+2y=24-14$$

將 4y 加到 2y。

$$6y=24-14$$

將 24 加到 -14。

$$6y=10$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=\frac{5}{3}$$

在 4x-y=7 中以 \frac{5}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-\frac{5}{3}=7$$

將 \frac{5}{3} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{26}{3}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{13}{6}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{6},y=\frac{5}{3}$$