Solve {l}{2x+y=3}{x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 3 } \\ { x - y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=3,x-y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=3$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+3$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+3。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 x-y=1 中以 \frac{-y+3}{2} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}-y=1$$

將 -\frac{y}{2} 加到 -y。

$$-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1}{3}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}+\frac{3}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{1}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{6}+\frac{3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 -\frac{1}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=3,x-y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3+\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 3-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=3,x-y=1$$

讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$2x+y=3,2x+2\left(-1\right)y=2$$

化簡。

$$2x+y=3,2x-2y=2$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+y=3 減去 2x-2y=2。

$$2x-2x+y+2y=3-2$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y+2y=3-2$$

將 y 加到 2y。

$$3y=3-2$$

將 3 加到 -2。

$$3y=1$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}$$

在 x-y=1 中以 \frac{1}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x-\frac{1}{3}=1$$

將 \frac{1}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{1}{3}$$