解決{l}{2x+y=11}{5x+3y=30} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 30 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=11$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y+11$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y+11。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}$$

在另一個方程式 5x+3y=30 中以 \frac{-y+11}{2} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2}\right)+3y=30$$

5 乘上 \frac{-y+11}{2}。

$$-\frac{5}{2}y+\frac{55}{2}+3y=30$$

將 -\frac{5y}{2} 加到 3y。

$$\frac{1}{2}y+\frac{55}{2}=30$$

從方程式兩邊減去 \frac{55}{2}。

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=5$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{11}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{11}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 5。

$$x=\frac{-5+11}{2}$$

將 \frac{11}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{1}{2\times 3-5}\\-\frac{5}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-1\\-5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\30\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 11-30\\-5\times 11+2\times 30\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=11,5x+3y=30$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5y=5\times 11,2\times 5x+2\times 3y=2\times 30$$

化簡。

$$10x+5y=55,10x+6y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+5y=55 減去 10x+6y=60。

$$10x-10x+5y-6y=55-60$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y-6y=55-60$$

將 5y 加到 -6y。

$$-y=55-60$$

將 55 加到 -60。

$$-y=-5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=5$$

在 5x+3y=30 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\times 5=30$$

3 乘上 5。

$$5x+15=30$$

從方程式兩邊減去 15。

$$5x=15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=5$$