解決{l}{2x+y=-6}{y=1/4x+3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 6 } \\ { y = \frac { 1 } { 4 } x + 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-4$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{4}x。

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=-6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y-6$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-6\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y-6。

$$x=-\frac{1}{2}y-3$$

在另一個方程式 -\frac{1}{4}x+y=3 中以 -\frac{y}{2}-3 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}y-3\right)+y=3$$

-\frac{1}{4} 乘上 -\frac{y}{2}-3。

$$\frac{1}{8}y+\frac{3}{4}+y=3$$

將 \frac{y}{8} 加到 y。

$$\frac{9}{8}y+\frac{3}{4}=3$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。

$$\frac{9}{8}y=\frac{9}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{8}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=2$$

在 x=-\frac{1}{2}y-3 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 2-3$$

-\frac{1}{2} 乘上 2。

$$x=-1-3$$

將 -3 加到 -1。

$$x=-4$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{4}x。

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\-\frac{1}{4}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\\-\frac{-\frac{1}{4}}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}&\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{4}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}&-\frac{4}{9}\\\frac{1}{9}&\frac{8}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9}\left(-6\right)-\frac{4}{9}\times 3\\\frac{1}{9}\left(-6\right)+\frac{8}{9}\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-4,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 \frac{1}{4}x。

$$y-\frac{1}{4}x=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=-6,-\frac{1}{4}x+y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+y=-6 減去 -\frac{1}{4}x+y=3。

$$2x+\frac{1}{4}x+y-y=-6-3$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x+\frac{1}{4}x=-6-3$$

將 2x 加到 \frac{x}{4}。

$$\frac{9}{4}x=-6-3$$

將 -6 加到 -3。

$$\frac{9}{4}x=-9$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=-4$$

在 -\frac{1}{4}x+y=3 中以 -4 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$-\frac{1}{4}\left(-4\right)+y=3$$

-\frac{1}{4} 乘上 -4。

$$1+y=3$$

從方程式兩邊減去 1。

$$y=2$$

現已成功解出系統。

$$x=-4,y=2$$