解決{l}{2x+y=-2}{4x+5y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 2 } \\ { 4 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=-2$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-2\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y-2。

$$x=-\frac{1}{2}y-1$$

在另一個方程式 4x+5y=8 中以 -\frac{y}{2}-1 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{1}{2}y-1\right)+5y=8$$

4 乘上 -\frac{y}{2}-1。

$$-2y-4+5y=8$$

將 -2y 加到 5y。

$$3y-4=8$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$3y=12$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=4$$

在 x=-\frac{1}{2}y-1 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 4-1$$

-\frac{1}{2} 乘上 4。

$$x=-2-1$$

將 -1 加到 -2。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-4}&-\frac{1}{2\times 5-4}\\-\frac{4}{2\times 5-4}&\frac{2}{2\times 5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\left(-2\right)-\frac{1}{6}\times 8\\-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{1}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=4$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=-2,4x+5y=8$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4y=4\left(-2\right),2\times 4x+2\times 5y=2\times 8$$

化簡。

$$8x+4y=-8,8x+10y=16$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+4y=-8 減去 8x+10y=16。

$$8x-8x+4y-10y=-8-16$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-10y=-8-16$$

將 4y 加到 -10y。

$$-6y=-8-16$$

將 -8 加到 -16。

$$-6y=-24$$

將兩邊同時除以 -6。

$$y=4$$

在 4x+5y=8 中以 4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+5\times 4=8$$

5 乘上 4。

$$4x+20=8$$

從方程式兩邊減去 20。

$$4x=-12$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=4$$