解決{l}{2x+y=-1}{3x+y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + y = - 1 } \\ { 3 x + y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+y=-1$$

從方程式兩邊減去 y。

$$2x=-y-1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-y-1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -y-1。

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 3x+y=0 中以 \frac{-y-1}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+y=0$$

3 乘上 \frac{-y-1}{2}。

$$-\frac{3}{2}y-\frac{3}{2}+y=0$$

將 -\frac{3y}{2} 加到 y。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=0$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{1}{2}y=\frac{3}{2}$$

將兩邊同時乘上 -2。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2} 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 -3。

$$x=\frac{3-1}{2}$$

將 -\frac{1}{2} 與 \frac{3}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3}&-\frac{1}{2-3}\\-\frac{3}{2-3}&\frac{2}{2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-1\right)\\3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+y=-1,3x+y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+y=-1 減去 3x+y=0。

$$2x-3x+y-y=-1$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2x-3x=-1$$

將 2x 加到 -3x。

$$-x=-1$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=1$$

在 3x+y=0 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3+y=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$y=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-3$$