解決{l}{2x+9y=19}{4x+my=53} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 9 y = 19 } \\ { 4 x + m y = 53 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{477-19m}{2\left(m-18\right)}$$

$$y=\frac{15}{m-18}$$

$$m\neq 18$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+9y=19$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$2x=-9y+19$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-9y+19\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -9y+19。

$$x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}$$

在另一個方程式 4x+my=53 中以 \frac{-9y+19}{2} 代入 x在方程式。

$$4\left(-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2}\right)+my=53$$

4 乘上 \frac{-9y+19}{2}。

$$-18y+38+my=53$$

將 -18y 加到 my。

$$\left(m-18\right)y+38=53$$

從方程式兩邊減去 38。

$$\left(m-18\right)y=15$$

將兩邊同時除以 -18+m。

$$y=\frac{15}{m-18}$$

在 x=-\frac{9}{2}y+\frac{19}{2} 中以 \frac{15}{-18+m} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{2}\times \frac{15}{m-18}+\frac{19}{2}$$

-\frac{9}{2} 乘上 \frac{15}{-18+m}。

$$x=-\frac{135}{2\left(m-18\right)}+\frac{19}{2}$$

將 \frac{19}{2} 加到 -\frac{135}{2\left(-18+m\right)}。

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&9\\4&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2m-9\times 4}&-\frac{9}{2m-9\times 4}\\-\frac{4}{2m-9\times 4}&\frac{2}{2m-9\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}&-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\\-\frac{2}{m-18}&\frac{1}{m-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\53\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{2\left(m-18\right)}\times 19+\left(-\frac{9}{2\left(m-18\right)}\right)\times 53\\\left(-\frac{2}{m-18}\right)\times 19+\frac{1}{m-18}\times 53\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)}\\\frac{15}{m-18}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{19m-477}{2\left(m-18\right)},y=\frac{15}{m-18}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+9y=19,4x+my=53$$

讓 2x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$4\times 2x+4\times 9y=4\times 19,2\times 4x+2my=2\times 53$$

化簡。

$$8x+36y=76,8x+2my=106$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+36y=76 減去 8x+2my=106。

$$8x-8x+36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y+\left(-2m\right)y=76-106$$

將 36y 加到 -2my。

$$\left(36-2m\right)y=76-106$$

將 76 加到 -106。

$$\left(36-2m\right)y=-30$$

將兩邊同時除以 36-2m。

$$y=-\frac{15}{18-m}$$

在 4x+my=53 中以 -\frac{15}{18-m} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+m\left(-\frac{15}{18-m}\right)=53$$

m 乘上 -\frac{15}{18-m}。

$$4x-\frac{15m}{18-m}=53$$

將 \frac{15m}{18-m} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{2\left(477-19m\right)}{18-m}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{477-19m}{2\left(18-m\right)},y=-\frac{15}{18-m}$$