解決{l}{2x+8y=16}{11-x+2y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 8 y = 16 } \\ { 11 - x + 2 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+8y=16$$

從方程式兩邊減去 8y。

$$2x=-8y+16$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-8y+16\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -8y+16。

$$x=-4y+8$$

在另一個方程式 -x+2y+11=0 中以 -4y+8 代入 x在方程式。

$$-\left(-4y+8\right)+2y+11=0$$

-1 乘上 -4y+8。

$$4y-8+2y+11=0$$

將 4y 加到 2y。

$$6y-8+11=0$$

將 -8 加到 11。

$$6y+3=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$6y=-3$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 x=-4y+8 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-4\left(-\frac{1}{2}\right)+8$$

-4 乘上 -\frac{1}{2}。

$$x=2+8$$

將 8 加到 2。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}&-\frac{8}{2\times 2-8\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2\times 2-8\left(-1\right)}&\frac{2}{2\times 2-8\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{2}{3}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\-11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 16-\frac{2}{3}\left(-11\right)\\\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{6}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+8y=16,-x+2y+11=0$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-8y=-16,2\left(-1\right)x+2\times 2y+2\times 11=0$$

化簡。

$$-2x-8y=-16,-2x+4y+22=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x-8y=-16 減去 -2x+4y+22=0。

$$-2x+2x-8y-4y-22=-16$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y-4y-22=-16$$

將 -8y 加到 -4y。

$$-12y-22=-16$$

將 22 加到方程式的兩邊。

$$-12y=6$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 -x+2y+11=0 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+2\left(-\frac{1}{2}\right)+11=0$$

2 乘上 -\frac{1}{2}。

$$-x-1+11=0$$

將 -1 加到 11。

$$-x+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$-x=-10$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-\frac{1}{2}$$