解決{l}{2x+7y=15}{3x-5y=23} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 7 y = 15 } \\ { 3 x - 5 y = 23 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{236}{31} = 7\frac{19}{31} \approx 7.612903226$$

$$y=-\frac{1}{31}\approx -0.032258065$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+7y=15$$

從方程式兩邊減去 7y。

$$2x=-7y+15$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-7y+15\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -7y+15。

$$x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}$$

在另一個方程式 3x-5y=23 中以 \frac{-7y+15}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2}\right)-5y=23$$

3 乘上 \frac{-7y+15}{2}。

$$-\frac{21}{2}y+\frac{45}{2}-5y=23$$

將 -\frac{21y}{2} 加到 -5y。

$$-\frac{31}{2}y+\frac{45}{2}=23$$

從方程式兩邊減去 \frac{45}{2}。

$$-\frac{31}{2}y=\frac{1}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{31}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{1}{31}$$

在 x=-\frac{7}{2}y+\frac{15}{2} 中以 -\frac{1}{31} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{7}{2}\left(-\frac{1}{31}\right)+\frac{15}{2}$$

-\frac{7}{2} 乘上 -\frac{1}{31} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{7}{62}+\frac{15}{2}$$

將 \frac{15}{2} 與 \frac{7}{62} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{236}{31}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&7\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-7\times 3}&-\frac{7}{2\left(-5\right)-7\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-5\right)-7\times 3}&\frac{2}{2\left(-5\right)-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{7}{31}\\\frac{3}{31}&-\frac{2}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\times 15+\frac{7}{31}\times 23\\\frac{3}{31}\times 15-\frac{2}{31}\times 23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{236}{31}\\-\frac{1}{31}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+7y=15,3x-5y=23$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\times 7y=3\times 15,2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\times 23$$

化簡。

$$6x+21y=45,6x-10y=46$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+21y=45 減去 6x-10y=46。

$$6x-6x+21y+10y=45-46$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$21y+10y=45-46$$

將 21y 加到 10y。

$$31y=45-46$$

將 45 加到 -46。

$$31y=-1$$

將兩邊同時除以 31。

$$y=-\frac{1}{31}$$

在 3x-5y=23 中以 -\frac{1}{31} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-5\left(-\frac{1}{31}\right)=23$$

-5 乘上 -\frac{1}{31}。

$$3x+\frac{5}{31}=23$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{31}。

$$3x=\frac{708}{31}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{236}{31}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{236}{31},y=-\frac{1}{31}$$