解決{l}{2x+5y=1}{-2x+y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-2$$

$$y=1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+5y=1$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$2x=-5y+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -5y+1。

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 -2x+y=5 中以 \frac{-5y+1}{2} 代入 x在方程式。

$$-2\left(-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2}\right)+y=5$$

-2 乘上 \frac{-5y+1}{2}。

$$5y-1+y=5$$

將 5y 加到 y。

$$6y-1=5$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$6y=6$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=1$$

在 x=-\frac{5}{2}y+\frac{1}{2} 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{-5+1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{2-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2-5\left(-2\right)}&\frac{2}{2-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&-\frac{5}{12}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}-\frac{5}{12}\times 5\\\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-2,y=1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+5y=1,-2x+y=5$$

讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2\times 2x-2\times 5y=-2,2\left(-2\right)x+2y=2\times 5$$

化簡。

$$-4x-10y=-2,-4x+2y=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-10y=-2 減去 -4x+2y=10。

$$-4x+4x-10y-2y=-2-10$$

將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y-2y=-2-10$$

將 -10y 加到 -2y。

$$-12y=-2-10$$

將 -2 加到 -10。

$$-12y=-12$$

將兩邊同時除以 -12。

$$y=1$$

在 -2x+y=5 中以 1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x+1=5$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-2x=4$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=-2$$

現已成功解出系統。

$$x=-2,y=1$$