\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 5 y + 1 = 0 } \\ { 3 x - 2 y - 8 = 0 } \end{array} \right.
解 x、y
x=2
y=-1
圖表
共享
已復制到剪貼板
2x+5y+1=0,3x-2y-8=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+5y+1=0
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x+5y=-1
從方程式兩邊減去 1。
2x=-5y-1
從方程式兩邊減去 5y。
x=\frac{1}{2}\left(-5y-1\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2}
\frac{1}{2} 乘上 -5y-1。
3\left(-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2}\right)-2y-8=0
在另一個方程式 3x-2y-8=0 中以 \frac{-5y-1}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{15}{2}y-\frac{3}{2}-2y-8=0
3 乘上 \frac{-5y-1}{2}。
-\frac{19}{2}y-\frac{3}{2}-8=0
將 -\frac{15y}{2} 加到 -2y。
-\frac{19}{2}y-\frac{19}{2}=0
將 -\frac{3}{2} 加到 -8。
-\frac{19}{2}y=\frac{19}{2}
將 \frac{19}{2} 加到方程式的兩邊。
y=-1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{19}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{5}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{2}
在 x=-\frac{5}{2}y-\frac{1}{2} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{5-1}{2}
-\frac{5}{2} 乘上 -1。
x=2
將 -\frac{1}{2} 與 \frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=2,y=-1
現已成功解出系統。
2x+5y+1=0,3x-2y-8=0
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-5\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{5}{19}\\\frac{3}{19}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\8\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\left(-1\right)+\frac{5}{19}\times 8\\\frac{3}{19}\left(-1\right)-\frac{2}{19}\times 8\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=2,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+5y+1=0,3x-2y-8=0
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 2x+3\times 5y+3=0,2\times 3x+2\left(-2\right)y+2\left(-8\right)=0
讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
6x+15y+3=0,6x-4y-16=0
化簡。
6x-6x+15y+4y+3+16=0
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+15y+3=0 減去 6x-4y-16=0。
15y+4y+3+16=0
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
19y+3+16=0
將 15y 加到 4y。
19y+19=0
將 3 加到 16。
19y=-19
從方程式兩邊減去 19。
y=-1
將兩邊同時除以 19。
3x-2\left(-1\right)-8=0
在 3x-2y-8=0 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+2-8=0
-2 乘上 -1。
3x-6=0
將 2 加到 -8。
3x=6
將 6 加到方程式的兩邊。
x=2
將兩邊同時除以 3。
x=2,y=-1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}