Solve {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=2060$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y+2060$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y+2060。

$$x=-2y+1030$$

在另一個方程式 5x+7y=1640 中以 -2y+1030 代入 x在方程式。

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

5 乘上 -2y+1030。

$$-10y+5150+7y=1640$$

將 -10y 加到 7y。

$$-3y+5150=1640$$

從方程式兩邊減去 5150。

$$-3y=-3510$$

將兩邊同時除以 -3。

$$y=1170$$

在 x=-2y+1030 中以 1170 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times 1170+1030$$

-2 乘上 1170。

$$x=-2340+1030$$

將 1030 加到 -2340。

$$x=-1310$$

現已成功解出系統。

$$x=-1310,y=1170$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1310,y=1170$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

化簡。

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+20y=10300 減去 10x+14y=3280。

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-14y=10300-3280$$

將 20y 加到 -14y。

$$6y=10300-3280$$

將 10300 加到 -3280。

$$6y=7020$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=1170$$

在 5x+7y=1640 中以 1170 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+7\times 1170=1640$$

7 乘上 1170。

$$5x+8190=1640$$

從方程式兩邊減去 8190。

$$5x=-6550$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-1310$$

現已成功解出系統。

$$x=-1310,y=1170$$