解決{l}{2x+4y=12}{5x-8y=16} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 12 } \\ { 5 x - 8 y = 16 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} \approx 4.444444444$$

$$y=\frac{7}{9}\approx 0.777777778$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=12$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y+12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+12\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y+12。

$$x=-2y+6$$

在另一個方程式 5x-8y=16 中以 -2y+6 代入 x在方程式。

$$5\left(-2y+6\right)-8y=16$$

5 乘上 -2y+6。

$$-10y+30-8y=16$$

將 -10y 加到 -8y。

$$-18y+30=16$$

從方程式兩邊減去 30。

$$-18y=-14$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=\frac{7}{9}$$

在 x=-2y+6 中以 \frac{7}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{7}{9}+6$$

-2 乘上 \frac{7}{9}。

$$x=-\frac{14}{9}+6$$

將 6 加到 -\frac{14}{9}。

$$x=\frac{40}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{2\left(-8\right)-4\times 5}&-\frac{4}{2\left(-8\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{2\left(-8\right)-4\times 5}&\frac{2}{2\left(-8\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{5}{36}&-\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\16\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 12+\frac{1}{9}\times 16\\\frac{5}{36}\times 12-\frac{1}{18}\times 16\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{9}\\\frac{7}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=12,5x-8y=16$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 12,2\times 5x+2\left(-8\right)y=2\times 16$$

化簡。

$$10x+20y=60,10x-16y=32$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+20y=60 減去 10x-16y=32。

$$10x-10x+20y+16y=60-32$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y+16y=60-32$$

將 20y 加到 16y。

$$36y=60-32$$

將 60 加到 -32。

$$36y=28$$

將兩邊同時除以 36。

$$y=\frac{7}{9}$$

在 5x-8y=16 中以 \frac{7}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-8\times \frac{7}{9}=16$$

-8 乘上 \frac{7}{9}。

$$5x-\frac{56}{9}=16$$

將 \frac{56}{9} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{200}{9}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{40}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{40}{9},y=\frac{7}{9}$$