解決{l}{2x+4y=1}{2x-6y=-4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 1 } \\ { 2 x - 6 y = - 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+4y=1$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$2x=-4y+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -4y+1。

$$x=-2y+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 2x-6y=-4 中以 -2y+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$2\left(-2y+\frac{1}{2}\right)-6y=-4$$

2 乘上 -2y+\frac{1}{2}。

$$-4y+1-6y=-4$$

將 -4y 加到 -6y。

$$-10y+1=-4$$

從方程式兩邊減去 1。

$$-10y=-5$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 x=-2y+\frac{1}{2} 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\times \frac{1}{2}+\frac{1}{2}$$

-2 乘上 \frac{1}{2}。

$$x=-1+\frac{1}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到 -1。

$$x=-\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\2&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{2\left(-6\right)-4\times 2}&-\frac{4}{2\left(-6\right)-4\times 2}\\-\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}&\frac{2}{2\left(-6\right)-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\\\frac{1}{10}-\frac{1}{10}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+4y=1,2x-6y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+4y=1 減去 2x-6y=-4。

$$2x-2x+4y+6y=1+4$$

將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y+6y=1+4$$

將 4y 加到 6y。

$$10y=1+4$$

將 1 加到 4。

$$10y=5$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 2x-6y=-4 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-6\times \frac{1}{2}=-4$$

-6 乘上 \frac{1}{2}。

$$2x-3=-4$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2x=-1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$