\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 780 } \\ { 5 x + 4 y = 1320 } \end{array} \right.
解 x、y
x=120
y=180
圖表
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2x+3y=780,5x+4y=1320
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=780
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+780
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+780\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+390
\frac{1}{2} 乘上 -3y+780。
5\left(-\frac{3}{2}y+390\right)+4y=1320
在另一個方程式 5x+4y=1320 中以 -\frac{3y}{2}+390 代入 x在方程式。
-\frac{15}{2}y+1950+4y=1320
5 乘上 -\frac{3y}{2}+390。
-\frac{7}{2}y+1950=1320
將 -\frac{15y}{2} 加到 4y。
-\frac{7}{2}y=-630
從方程式兩邊減去 1950。
y=180
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times 180+390
在 x=-\frac{3}{2}y+390 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-270+390
-\frac{3}{2} 乘上 180。
x=120
將 390 加到 -270。
x=120,y=180
現已成功解出系統。
2x+3y=780,5x+4y=1320
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\5&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{2\times 4-3\times 5}&-\frac{3}{2\times 4-3\times 5}\\-\frac{5}{2\times 4-3\times 5}&\frac{2}{2\times 4-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}780\\1320\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7}\times 780+\frac{3}{7}\times 1320\\\frac{5}{7}\times 780-\frac{2}{7}\times 1320\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}120\\180\end{matrix}\right)
計算。
x=120,y=180
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=780,5x+4y=1320
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
5\times 2x+5\times 3y=5\times 780,2\times 5x+2\times 4y=2\times 1320
讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
10x+15y=3900,10x+8y=2640
化簡。
10x-10x+15y-8y=3900-2640
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+15y=3900 減去 10x+8y=2640。
15y-8y=3900-2640
將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
7y=3900-2640
將 15y 加到 -8y。
7y=1260
將 3900 加到 -2640。
y=180
將兩邊同時除以 7。
5x+4\times 180=1320
在 5x+4y=1320 中以 180 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
5x+720=1320
4 乘上 180。
5x=600
從方程式兩邊減去 720。
x=120
將兩邊同時除以 5。
x=120,y=180
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}