\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 6 } \\ { - 4 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667
圖表
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2x+3y=6,-4x+3y=12
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=6
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+6
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+3
\frac{1}{2} 乘上 -3y+6。
-4\left(-\frac{3}{2}y+3\right)+3y=12
在另一個方程式 -4x+3y=12 中以 -\frac{3y}{2}+3 代入 x在方程式。
6y-12+3y=12
-4 乘上 -\frac{3y}{2}+3。
9y-12=12
將 6y 加到 3y。
9y=24
將 12 加到方程式的兩邊。
y=\frac{8}{3}
將兩邊同時除以 9。
x=-\frac{3}{2}\times \frac{8}{3}+3
在 x=-\frac{3}{2}y+3 中以 \frac{8}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 x。
x=-4+3
-\frac{3}{2} 乘上 \frac{8}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=-1
將 3 加到 -4。
x=-1,y=\frac{8}{3}
現已成功解出系統。
2x+3y=6,-4x+3y=12
將方程式以標準式表示,然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}&-\frac{3}{2\times 3-3\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\times 3-3\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 3-3\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right),逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right),所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\\\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\12\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 6-\frac{1}{6}\times 12\\\frac{2}{9}\times 6+\frac{1}{9}\times 12\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=\frac{8}{3}
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=6,-4x+3y=12
為了使用消去法求解,兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同,這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x+4x+3y-3y=6-12
透過在等號兩邊減去同類項的方式,從 2x+3y=6 減去 -4x+3y=12。
2x+4x=6-12
將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去,方程式就會只剩下一個變數,很容易就可以解出。
6x=6-12
將 2x 加到 4x。
6x=-6
將 6 加到 -12。
x=-1
將兩邊同時除以 6。
-4\left(-1\right)+3y=12
在 -4x+3y=12 中以 -1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數,您可以直接解出 y。
4+3y=12
-4 乘上 -1。
3y=8
從方程式兩邊減去 4。
y=\frac{8}{3}
將兩邊同時除以 3。
x=-1,y=\frac{8}{3}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}