\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 23 } \\ { x - 2 y = - 13 } \end{array} \right.
解 x、y
x=1
y=7
圖表
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2x+3y=23,x-2y=-13
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+3y=23
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-3y+23
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{2}\left(-3y+23\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}
\frac{1}{2} 乘上 -3y+23。
-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2}-2y=-13
在另一個方程式 x-2y=-13 中以 \frac{-3y+23}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{7}{2}y+\frac{23}{2}=-13
將 -\frac{3y}{2} 加到 -2y。
-\frac{7}{2}y=-\frac{49}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{23}{2}。
y=7
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{2}\times 7+\frac{23}{2}
在 x=-\frac{3}{2}y+\frac{23}{2} 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-21+23}{2}
-\frac{3}{2} 乘上 7。
x=1
將 \frac{23}{2} 與 -\frac{21}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=1,y=7
現已成功解出系統。
2x+3y=23,x-2y=-13
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-2\right)-3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\\\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-13\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 23+\frac{3}{7}\left(-13\right)\\\frac{1}{7}\times 23-\frac{2}{7}\left(-13\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)
計算。
x=1,y=7
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+3y=23,x-2y=-13
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2x+3y=23,2x+2\left(-2\right)y=2\left(-13\right)
讓 2x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
2x+3y=23,2x-4y=-26
化簡。
2x-2x+3y+4y=23+26
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 2x+3y=23 減去 2x-4y=-26。
3y+4y=23+26
將 2x 加到 -2x。 2x 和 -2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
7y=23+26
將 3y 加到 4y。
7y=49
將 23 加到 26。
y=7
將兩邊同時除以 7。
x-2\times 7=-13
在 x-2y=-13 中以 7 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x-14=-13
-2 乘上 7。
x=1
將 14 加到方程式的兩邊。
x=1,y=7
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}