解決{l}{2x+3y=2k+1}{3x-2y=4k+3} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 3 y = 2 k + 1 } \\ { 3 x - 2 y = 4 k + 3 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+3y=2k+1$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$2x=-3y+2k+1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+2k+1\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -3y+2k+1。

$$x=-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2}$$

在另一個方程式 3x-2y=4k+3 中以 -\frac{3y}{2}+k+\frac{1}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2}\right)-2y=4k+3$$

3 乘上 -\frac{3y}{2}+k+\frac{1}{2}。

$$-\frac{9}{2}y+3k+\frac{3}{2}-2y=4k+3$$

將 -\frac{9y}{2} 加到 -2y。

$$-\frac{13}{2}y+3k+\frac{3}{2}=4k+3$$

從方程式兩邊減去 3k+\frac{3}{2}。

$$-\frac{13}{2}y=k+\frac{3}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

在 x=-\frac{3}{2}y+k+\frac{1}{2} 中以 \frac{-3-2k}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{-2k-3}{13}+k+\frac{1}{2}$$

-\frac{3}{2} 乘上 \frac{-3-2k}{13}。

$$x=\frac{3k}{13}+\frac{9}{26}+k+\frac{1}{2}$$

將 k+\frac{1}{2} 加到 \frac{9}{26}+\frac{3k}{13}。

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}&-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{2\left(-2\right)-3\times 3}&\frac{2}{2\left(-2\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\\frac{3}{13}&-\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2k+1\\4k+3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(2k+1\right)+\frac{3}{13}\left(4k+3\right)\\\frac{3}{13}\left(2k+1\right)-\frac{2}{13}\left(4k+3\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16k+11}{13}\\\frac{-2k-3}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+3y=2k+1,3x-2y=4k+3$$

讓 2x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$3\times 2x+3\times 3y=3\left(2k+1\right),2\times 3x+2\left(-2\right)y=2\left(4k+3\right)$$

化簡。

$$6x+9y=6k+3,6x-4y=8k+6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x+9y=6k+3 減去 6x-4y=8k+6。

$$6x-6x+9y+4y=6k+3-8k-6$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$9y+4y=6k+3-8k-6$$

將 9y 加到 4y。

$$13y=6k+3-8k-6$$

將 6k+3 加到 -6-8k。

$$13y=-2k-3$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=\frac{-2k-3}{13}$$

在 3x-2y=4k+3 中以 \frac{-2k-3}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\times \frac{-2k-3}{13}=4k+3$$

-2 乘上 \frac{-2k-3}{13}。

$$3x+\frac{4k+6}{13}=4k+3$$

從方程式兩邊減去 \frac{6+4k}{13}。

$$3x=\frac{48k+33}{13}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{16k+11}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16k+11}{13},y=\frac{-2k-3}{13}$$