\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 2 y = 10 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 3 } { 4 } y = 20 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-65
y=70
圖表
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2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+2y=10
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-2y+10
從方程式兩邊減去 2y。
x=\frac{1}{2}\left(-2y+10\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-y+5
\frac{1}{2} 乘上 -2y+10。
\frac{1}{2}\left(-y+5\right)+\frac{3}{4}y=20
在另一個方程式 \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20 中以 -y+5 代入 x在方程式。
-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}+\frac{3}{4}y=20
\frac{1}{2} 乘上 -y+5。
\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}=20
將 -\frac{y}{2} 加到 \frac{3y}{4}。
\frac{1}{4}y=\frac{35}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。
y=70
將兩邊同時乘上 4。
x=-70+5
在 x=-y+5 中以 70 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-65
將 5 加到 -70。
x=-65,y=70
現已成功解出系統。
2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&2\\\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{3}{4}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&-\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\\-\frac{\frac{1}{2}}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}&\frac{2}{2\times \frac{3}{4}-2\times \frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}&-4\\-1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\times 10-4\times 20\\-10+4\times 20\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\70\end{matrix}\right)
計算。
x=-65,y=70
解出矩陣元素 x 和 y。
2x+2y=10,\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
\frac{1}{2}\times 2x+\frac{1}{2}\times 2y=\frac{1}{2}\times 10,2\times \frac{1}{2}x+2\times \frac{3}{4}y=2\times 20
讓 2x 和 \frac{x}{2} 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 \frac{1}{2}，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
x+y=5,x+\frac{3}{2}y=40
化簡。
x-x+y-\frac{3}{2}y=5-40
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 x+y=5 減去 x+\frac{3}{2}y=40。
y-\frac{3}{2}y=5-40
將 x 加到 -x。 x 和 -x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-\frac{1}{2}y=5-40
將 y 加到 -\frac{3y}{2}。
-\frac{1}{2}y=-35
將 5 加到 -40。
y=70
將兩邊同時乘上 -2。
\frac{1}{2}x+\frac{3}{4}\times 70=20
在 \frac{1}{2}x+\frac{3}{4}y=20 中以 70 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
\frac{1}{2}x+\frac{105}{2}=20
\frac{3}{4} 乘上 70。
\frac{1}{2}x=-\frac{65}{2}
從方程式兩邊減去 \frac{105}{2}。
x=-65
將兩邊同時乘上 2。
x=-65,y=70
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}