解決{l}{2x+14y=-28}{-4x-14y=28} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 14 y = - 28 } \\ { - 4 x - 14 y = 28 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x+14y=-28$$

從方程式兩邊減去 14y。

$$2x=-14y-28$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(-14y-28\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 -14y-28。

$$x=-7y-14$$

在另一個方程式 -4x-14y=28 中以 -7y-14 代入 x在方程式。

$$-4\left(-7y-14\right)-14y=28$$

-4 乘上 -7y-14。

$$28y+56-14y=28$$

將 28y 加到 -14y。

$$14y+56=28$$

從方程式兩邊減去 56。

$$14y=-28$$

將兩邊同時除以 14。

$$y=-2$$

在 x=-7y-14 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-7\left(-2\right)-14$$

-7 乘上 -2。

$$x=14-14$$

將 -14 加到 14。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&14\\-4&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&-\frac{14}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}&\frac{2}{2\left(-14\right)-14\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{7}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\28\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-28\right)-\frac{1}{2}\times 28\\\frac{1}{7}\left(-28\right)+\frac{1}{14}\times 28\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x+14y=-28,-4x-14y=28$$

讓 2x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-4\times 2x-4\times 14y=-4\left(-28\right),2\left(-4\right)x+2\left(-14\right)y=2\times 28$$

化簡。

$$-8x-56y=112,-8x-28y=56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -8x-56y=112 減去 -8x-28y=56。

$$-8x+8x-56y+28y=112-56$$

將 -8x 加到 8x。 -8x 和 8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-56y+28y=112-56$$

將 -56y 加到 28y。

$$-28y=112-56$$

將 112 加到 -56。

$$-28y=56$$

將兩邊同時除以 -28。

$$y=-2$$

在 -4x-14y=28 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x-14\left(-2\right)=28$$

-14 乘上 -2。

$$-4x+28=28$$

從方程式兩邊減去 28。

$$-4x=0$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=-2$$