解決{l}{2x+10=4y-16x}{10y-10x=11y-12x} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 10 = 4 y - 16 x } \\ { 10 y - 10 x = 11 y - 12 x } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$2x+10-4y=-16x$$

新增 16x 至兩側。

$$2x+10-4y+16x=0$$

合併 2x 和 16x 以取得 18x。

$$18x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$18x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 11y。

$$10y-10x-11y=-12x$$

合併 10y 和 -11y 以取得 -y。

$$-y-10x=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$-y-10x+12x=0$$

合併 -10x 和 12x 以取得 2x。

$$-y+2x=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$18x-4y=-10$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$18x=4y-10$$

將兩邊同時除以 18。

$$x=\frac{1}{18}\left(4y-10\right)$$

\frac{1}{18} 乘上 4y-10。

$$x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}$$

在另一個方程式 2x-y=0 中以 \frac{2y-5}{9} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{2}{9}y-\frac{5}{9}\right)-y=0$$

2 乘上 \frac{2y-5}{9}。

$$\frac{4}{9}y-\frac{10}{9}-y=0$$

將 \frac{4y}{9} 加到 -y。

$$-\frac{5}{9}y-\frac{10}{9}=0$$

將 \frac{10}{9} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{5}{9}y=\frac{10}{9}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{5}{9}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{2}{9}y-\frac{5}{9} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{9}\left(-2\right)-\frac{5}{9}$$

\frac{2}{9} 乘上 -2。

$$x=\frac{-4-5}{9}$$

將 -\frac{5}{9} 與 -\frac{4}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$2x+10-4y=-16x$$

新增 16x 至兩側。

$$2x+10-4y+16x=0$$

合併 2x 和 16x 以取得 18x。

$$18x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$18x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 11y。

$$10y-10x-11y=-12x$$

合併 10y 和 -11y 以取得 -y。

$$-y-10x=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$-y-10x+12x=0$$

合併 -10x 和 12x 以取得 2x。

$$-y+2x=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}18&-4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}&\frac{18}{18\left(-1\right)-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&-\frac{2}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=-2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$2x+10-4y=-16x$$

新增 16x 至兩側。

$$2x+10-4y+16x=0$$

合併 2x 和 16x 以取得 18x。

$$18x+10-4y=0$$

從兩邊減去 10。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$18x-4y=-10$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 11y。

$$10y-10x-11y=-12x$$

合併 10y 和 -11y 以取得 -y。

$$-y-10x=-12x$$

新增 12x 至兩側。

$$-y-10x+12x=0$$

合併 -10x 和 12x 以取得 2x。

$$-y+2x=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$18x-4y=-10,2x-y=0$$

讓 18x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 18。

$$2\times 18x+2\left(-4\right)y=2\left(-10\right),18\times 2x+18\left(-1\right)y=0$$

化簡。

$$36x-8y=-20,36x-18y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 36x-8y=-20 減去 36x-18y=0。

$$36x-36x-8y+18y=-20$$

將 36x 加到 -36x。 36x 和 -36x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-8y+18y=-20$$

將 -8y 加到 18y。

$$10y=-20$$

將兩邊同時除以 10。

$$y=-2$$

在 2x-y=0 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-\left(-2\right)=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$2x=-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=-2$$